Factorisons dans <math><mi>ℝ</mi></math> : <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn></math>
Les solutions (complexes) sont : <math><msup><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow></msup><mo>·</mo><mi>exp</mi><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>·</mo><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo></math>, pour k = 0..2
<table class='signtable' width='100%'><thead><tr><td>k</td><td>Solution exponentielle</td><td>Transformée et simplifiée en</td></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td><math><mn>2</mn><mi>exp</mi><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn></math></td><td><math><mn>2</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo> + </mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn></math></td></tr><tr><td>1</td><td><math><mn>2</mn><mi>exp</mi><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>1</mn><mo>·</mo><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn><mi>exp</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>i</mi><mo>·</mo><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo></math></td><td><math><mn>2</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> + </mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>)</mo><mo> = </mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>i</mi><mo>·</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math></td></tr><tr><td>2</td><td><math><mn>2</mn><mi>exp</mi><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn><mi>exp</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>i</mi><mo>·</mo><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo></math></td><td><math><mn>2</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> + </mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>)</mo><mo> = </mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> -</mo><mi>i</mi><mo>·</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math></td></tr></tbody></table>
Pour les solutions réelles, la factorisation donne : <math><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn></math>
Commençons la division euclidienne de <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn></math> par <math><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn></math>
<table class='signtable' width='100%'><thead><tr><td><i>Expression courante</i></td><td><i>Division des<br/>termes principaux</i></td><td><i>Quotient</i></td><td><i>Quotient * diviseur</i></td><td><i>Reste après soustraction</i></td></tr></thead><tbody><tr><td><math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn></math></td><td><math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math></td><td><math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math></td><td><math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo> = </mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math></td><td><math><mo>(</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn><mo>)</mo><mo> -</mo><mo>(</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn></math><tr><td><math><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn></math></td><td><math><mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math></td><td><math><mn>2</mn><mi>x</mi></math></td><td><math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>4</mn><mi>x</mi></math></td><td><math><mo>(</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn><mo>)</mo><mo> -</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>8</mn></math><tr><td><math><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>8</mn></math></td><td><math><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math></td><td><math><mn>4</mn></math></td><td><math><mn>4</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>8</mn></math></td><td><math><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>8</mn><mo>)</mo><mo> -</mo><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>8</mn><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>0</mn></math></td></tr></tbody></table>
Donc le résultat de la division euclidienne est : <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> + </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> + </mo><mn>4</mn></math>

▷<b>Réponse : &nbsp; <math><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> + </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> + </mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math></b><span style='font-size:smaller'> &nbsp; &nbsp; (le calcul a nécessité 11 étapes et 8 ms)</span>