factorise x^3-8x^2+17x-10 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

x^{3}

- 8 x^{2}

+ 17 x

- 10

Essayons d'abord la valeur évidente :

x = 1

2) Evaluons la valeur de :

1^{3}

- 8 \cdot 1^{2}

+ 17 \cdot 1

- 10

- 9 - 8 + 17

- 17 + 17

0

Facteur trouvé :

x = 1

3) Calculons le quotient et le reste de

x^{3}

- 8 x^{2}

+ 17 x

- 10

par

x - 1

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $- 8 x^{2}$ $+ 17 x$ $- 10$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 1) = x^{3} - x^{2}$	$(x^{3}$ $- 8 x^{2}$ $+ 17 x$ $- 10) - (x^{3} - x^{2}) = - 7 x^{2} + 17 x - 10$
$- 7 x^{2} + 17 x - 10$	$- \frac{7 x^{2}}{x}$	$- 7 x$	$- 7 x \cdot (x - 1) = - 7 x^{2} + 7 x$	$(- 7 x^{2} + 17 x - 10) - (- 7 x^{2} + 7 x) = 10 x - 10$
$10 x - 10$	$\frac{10 x}{x}$	$10$	$10 \cdot (x - 1) = 10 x - 10$	$(10 x - 10) - (10 x - 10) = 0$

Donc le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} - 7 x + 10

(x - 1) \cdot (x^{2} - 7 x + 10)

4) Mettons en facteurs dans

ℝ

(x^{2} - 7 x + 10)

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10

Δ = 49 - 4 \cdot 10

Δ = 49 - 40

Δ = 9

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux solutions :

La 1ère solution est :

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

x1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2}

x1 = \frac{7 - 3}{2}

x1 = \frac{4}{2}

x1 = 2

La deuxième solution est :

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

x2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2}

x2 = \frac{7 + 3}{2}

x2 = \frac{10}{2}

x2 = 5

Facteurs trouvés :

(x - 2) \cdot (x - 5)

▶Forme factorisée :

(x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 5)