factorise x^3-8x^2+x+42 — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

x^{3}

- 8 x^{2}

+ x

+ 42

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = -2

⇥Calculons la valeur de :

{(-2)}^{3}

- 8 \cdot {(-2)}^{2}

- 2

+ 42

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■On part de

-2

et on avance de

42

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 2 + 42

40

⇥

- 8 - 8 \cdot 4 + 40

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 4

32

⇥

- 8 - 32 + 40

⇥ⓘ On part de

-8

et on recule encore de

32

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 8 - 32

-40

⇥

- 40 + 40

⇥ⓘ On part de

-40

et on avance de

40

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 40 + 40

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = -2

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(x^{3}

- 8 x^{2}

+ x

+ 42)

par

(x + 2)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $- 8 x^{2}$ $+ x$ $+ 42$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 8 x^{2}$ $+ x$ $+ 42) - (x^{3} + 2 x^{2}) = - 10 x^{2} + x + 42$
$- 10 x^{2} + x + 42$	$- \frac{10 x^{2}}{x}$	$- 10 x$	$- 10 x \cdot (x + 2) = - 10 x^{2} - 20 x$	$(- 10 x^{2} + x + 42) - (- 10 x^{2} - 20 x) = 21 x + 42$
$21 x + 42$	$\frac{21 x}{x}$	$21$	$21 \cdot (x + 2) = 21 x + 42$	$(21 x + 42) - (21 x + 42) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} - 10 x + 21

⇥1.3) Mettons en facteurs dans

ℝ

(x^{2} - 10 x + 21)

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -10

c = 21

⇥

Δ = {(-10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-10)}^{2}

(-10) \cdot (-10)

100

⇥

Δ = 100 - 4 \cdot 21

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 21

4 \cdot (20 + 1)

4 \cdot 20 + 4

80 + 4

84

⇥

Δ = 100 - 84

⇥ⓘ On part de

100

et on recule de

84

sur la droite des nombres :

100 - 84

16

⇥

Δ = 16

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-10) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{10 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥

x_{1} = \frac{10 - 4}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

10 - 4

6

⇥

x_{1} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

⇥

x_{1} = 3

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-10) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{10 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥

x_{2} = \frac{10 + 4}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

10 + 4

14

⇥

x_{2} = \frac{14}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{14}{2}

7

⇥

x_{2} = 7

▷Le facteur

(x^{2} - 10 x + 21)

se factorise en :

(x - 3) \cdot (x - 7)

▶Expression factorisée :

(x + 2) \cdot (x - 3) \cdot (x - 7)