factorise x^3-x^2-8x+12 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

x^{3}

- x^{2}

- 8 x

+ 12

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = 2

⇥Calculons la valeur de :

2^{3}

- 2^{2}

- 8 \cdot 2

+ 12

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 2

16

⇥

8

- 4

- 16

+ 12

⇥ⓘ On part de

8

et on recule de

4

sur la droite des nombres :

8 - 4

4

⇥

4 - 16 + 12

⇥ⓘ On part de

4

et on recule de

16

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

4 - 16

-12

⇥

- 12 + 12

⇥ⓘ On part de

-12

et on avance de

12

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 12 + 12

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = 2

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de

(x^{3}

- x^{2}

- 8 x

+ 12)

par

(x - 2)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $- x^{2}$ $- 8 x$ $+ 12$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $- x^{2}$ $- 8 x$ $+ 12) - (x^{3} - 2 x^{2}) = x^{2} - 8 x + 12$
$x^{2} - 8 x + 12$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 2) = x^{2} - 2 x$	$(x^{2} - 8 x + 12) - (x^{2} - 2 x) = - 6 x + 12$
$- 6 x + 12$	$- \frac{6 x}{x}$	$-6$	$-6 \cdot (x - 2) = - 6 x + 12$	$(- 6 x + 12) - (- 6 x + 12) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} + x - 6

⇥1.3) Factorisons dans

ℝ

(x^{2} + x - 6)

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 1

c = -6

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-6)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-6)

24

⇥

Δ = 1 + 24

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

24

sur la droite des nombres :

1 + 24

25

⇥

Δ = 25

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 - 5

-6

⇥

x_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{1} = -3

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 5

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

▷Le facteur

(x^{2} + x - 6)

se factorise en :

(x + 3) \cdot (x - 2)

▶Expression factorisée :

(x + 3) \cdot {(x - 2)}^{2}