factorise x^3+2x^2-36x-72 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

x^{3}

+ 2 x^{2}

- 36 x

- 72

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = -2

⇥Calculons la valeur de :

{(-2)}^{3}

+ 2 \cdot {(-2)}^{2}

- 36 \cdot (-2)

- 72

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 36 \cdot (-2)

36 \cdot 2

(30 + 6) \cdot 2

30 \cdot 2 + 6 \cdot 2

60 + 12

72

⇥

- 8

+ 2 \cdot 4

+ 72

- 72

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 4

8

■On part de

72

et on recule de

72

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

72 - 72

0

⇥

- 8 + 8 + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

8 + 0

8

■On part de

-8

et on avance de

8

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 8 + 8

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = -2

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de

(x^{3}

+ 2 x^{2}

- 36 x

- 72)

par

(x + 2)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $+ 2 x^{2}$ $- 36 x$ $- 72$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $+ 2 x^{2}$ $- 36 x$ $- 72) - (x^{3} + 2 x^{2}) = - 36 x - 72$
$- 36 x - 72$	$- \frac{36 x}{x}$	$-36$	$-36 \cdot (x + 2) = - 36 x - 72$	$(- 36 x - 72) - (- 36 x - 72) = 0$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} - 36

⇥1.3) Mettons en facteurs dans

ℝ

(x^{2} - 36)

⇥Pour

x^{2} - 36

, on reconnaît une différence de deux carrés :

x^{2} - 6^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = x

b = 6

▷Le facteur

(x^{2} - 36)

se factorise en :

(x + 6) \cdot (x - 6)

▶Expression factorisée :

(x + 2) \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)