1) Factorisons dans $ℝ$ : $x^3$$+3x^2$$+3x$$+9$

⇥1.1) Essayons d'abord la valeur évidente : $x=-3$

⇥Calculons la valeur de : ${\left(-3\right)}^3$$+3·{\left(-3\right)}^2$$+3·\left(-3\right)$$+9$

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété : ${\left(-3\right)}^3$ = $\left(-3\right)·\left(-3\right)·\left(-3\right)$ = $-27$, ${\left(-3\right)}^2$ = $\left(-3\right)·\left(-3\right)$ = $9$■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif : $3·\left(-3\right)$ = $-9$

⇥ $-27$$+3·9$$-9$$+9$

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions : $3·9$ = $27$■On part de $-9$ et on avance de $9$ sur la droite des nombres, jusqu'à zéro : $-9+9$ = $0$

⇥ $-27+27+0$

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien : $27+0$ = $27$■On part de $-27$ et on avance de $27$ sur la droite des nombres, jusqu'à zéro : $-27+27$ = $0$

⇥ $0$

⇥Racine trouvée : $x=-3$

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de $(x^3$$+3x^2$$+3x$$+9)$ par $(x+3)$

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^3$$+3x^2$$+3x$$+9$	$\frac{x^3}{x}$	$x^2$	$x^2·(x+3)=x^3+3x^2$	$(x^3$$+3x^2$$+3x$$+9)-(x^3+3x^2)=3x+9$
$3x+9$	$\frac{3x}{x}$	$3$	$3·(x+3)=3x+9$	$(3x+9)-(3x+9)=0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est : $x^2+3$

ⓘ Un carré n'étant jamais négatif, $x^2+3$ ne s'annule pas et ne se factorise pas dans ℝ

ⅰ $x^3$$+3x^2$$+3x$$+9$ = $(x+3)·(x^2+3)$

▶Expression factorisée :   $(x+3)·(x^2+3)$