factorise x^3+6x^2-4x-24 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

x^{3}

+ 6 x^{2}

- 4 x

- 24

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = 2

⇥Calculons la valeur de :

2^{3}

+ 6 \cdot 2^{2}

- 4 \cdot 2

- 24

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

⇥

8

+ 6 \cdot 4

- 8

- 24

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

6 \cdot 4

24

⇥

8

+ 24

- 8

- 24

⇥ⓘ On part de

8

et on avance de

24

sur la droite des nombres :

8 + 24

32

⇥

32 - 8 - 24

⇥ⓘ On part de

32

et on recule de

8

sur la droite des nombres :

32 - 8

24

⇥

24 - 24

⇥ⓘ On part de

24

et on recule de

24

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

24 - 24

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = 2

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(x^{3}

+ 6 x^{2}

- 4 x

- 24)

(x - 2)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $+ 6 x^{2}$ $- 4 x$ $- 24$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $+ 6 x^{2}$ $- 4 x$ $- 24) - (x^{3} - 2 x^{2}) = 8 x^{2} - 4 x - 24$
$8 x^{2} - 4 x - 24$	$\frac{8 x^{2}}{x}$	$8 x$	$8 x \cdot (x - 2) = 8 x^{2} - 16 x$	$(8 x^{2} - 4 x - 24) - (8 x^{2} - 16 x) = 12 x - 24$
$12 x - 24$	$\frac{12 x}{x}$	$12$	$12 \cdot (x - 2) = 12 x - 24$	$(12 x - 24) - (12 x - 24) = 0$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} + 8 x + 12

⇥1.3) Mettons en facteurs dans

ℝ

(x^{2} + 8 x + 12)

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 8

c = 12

⇥

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

8^{2}

8 \cdot 8

64

⇥

Δ = 64 - 4 \cdot 12

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

⇥

Δ = 64 - 48

⇥ⓘ On part de

64

et on recule de

48

sur la droite des nombres :

64 - 48

16

⇥

Δ = 16

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥

x_{1} = \frac{- 8 - 4}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 8 - 4

-12

⇥

x_{1} = - \frac{12}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{12}{2}

-6

⇥

x_{1} = -6

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥

x_{2} = \frac{- 8 + 4}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 8 + 4

-4

⇥

x_{2} = - \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{2}

-2

⇥

x_{2} = -2

▷Le facteur

(x^{2} + 8 x + 12)

se factorise en :

(x + 2) \cdot (x + 6)

▶Expression factorisée :

(x + 2) \cdot (x + 6) \cdot (x - 2)