factorise x^4-14x^3+71x^2-154x+120

1) Factorisons dans

ℝ

x^{4}

- 14 x^{3}

+ 71 x^{2}

- 154 x

+ 120

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = 2

⇥Évaluons la valeur de :

2^{4}

- 14 \cdot 2^{3}

+ 71 \cdot 2^{2}

- 154 \cdot 2

+ 120

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{4}

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

154 \cdot 2

(100 + 50 + 4) \cdot 2

100 \cdot 2 + 50 \cdot 2 + 4 \cdot 2

200 + 100 + 8

308

⇥

16

- 14 \cdot 8

+ 71 \cdot 4

- 308

+ 120

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

14 \cdot 8

(10 + 4) \cdot 8

10 \cdot 8 + 4 \cdot 8

80 + 32

112

71 \cdot 4

(70 + 1) \cdot 4

70 \cdot 4 + 4

280 + 4

284

⇥

16

- 112

+ 284

- 308

+ 120

⇥ⓘ On part de

16

et on recule de

112

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

16 - 112

-96

⇥

- 96

+ 284

- 308

+ 120

⇥ⓘ On part de

-96

et on avance de

284

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 96 + 284

188

⇥

188 - 308 + 120

⇥ⓘ On part de

188

et on recule de

308

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

188 - 308

-120

⇥

- 120 + 120

⇥ⓘ On part de

-120

et on avance de

120

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 120 + 120

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = 2

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de

(x^{4}

- 14 x^{3}

+ 71 x^{2}

- 154 x

+ 120)

par

(x - 2)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{4}$ $- 14 x^{3}$ $+ 71 x^{2}$ $- 154 x$ $+ 120$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x - 2) = x^{4} - 2 x^{3}$	$(x^{4}$ $- 14 x^{3}$ $+ 71 x^{2}$ $- 154 x$ $+ 120) - (x^{4} - 2 x^{3}) = - 12 x^{3}$ $+ 71 x^{2}$ $- 154 x$ $+ 120$
$- 12 x^{3}$ $+ 71 x^{2}$ $- 154 x$ $+ 120$	$- \frac{12 x^{3}}{x}$	$- 12 x^{2}$	$- 12 x^{2} \cdot (x - 2) = - 12 x^{3} + 24 x^{2}$	$(- 12 x^{3}$ $+ 71 x^{2}$ $- 154 x$ $+ 120) - (- 12 x^{3} + 24 x^{2}) = 47 x^{2} - 154 x + 120$
$47 x^{2} - 154 x + 120$	$\frac{47 x^{2}}{x}$	$47 x$	$47 x \cdot (x - 2) = 47 x^{2} - 94 x$	$(47 x^{2} - 154 x + 120) - (47 x^{2} - 94 x) = - 60 x + 120$
$- 60 x + 120$	$- \frac{60 x}{x}$	$-60$	$-60 \cdot (x - 2) = - 60 x + 120$	$(- 60 x + 120) - (- 60 x + 120) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

x^{3}

- 12 x^{2}

+ 47 x

- 60

⇥1.3) Factorisons dans

ℝ

(x^{3}

- 12 x^{2}

+ 47 x

- 60)

⇥⇥1.3.1) Testons la solution évidente :

x = 3

⇥⇥Évaluons la valeur de :

3^{3}

- 12 \cdot 3^{2}

+ 47 \cdot 3

- 60

⇥⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

3^{2}

3 \cdot 3

9

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

47 \cdot 3

(40 + 7) \cdot 3

40 \cdot 3 + 7 \cdot 3

120 + 21

141

⇥⇥

27

- 12 \cdot 9

+ 141

- 60

⇥⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 9

(10 + 2) \cdot 9

10 \cdot 9 + 2 \cdot 9

90 + 18

108

⇥⇥

27

- 108

+ 141

- 60

⇥⇥ⓘ On part de

27

et on recule de

108

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

27 - 108

-81

⇥⇥

- 81 + 141 - 60

⇥⇥ⓘ On part de

-81

et on avance de

141

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 81 + 141

60

⇥⇥

60 - 60

⇥⇥ⓘ On part de

60

et on recule de

60

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

60 - 60

0

⇥⇥

0

⇥⇥Racine trouvée :

x = 3

⇥⇥1.3.2) Commençons la division euclidienne de

(x^{3}

- 12 x^{2}

+ 47 x

- 60)

par

(x - 3)

⇥⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $- 12 x^{2}$ $+ 47 x$ $- 60$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 12 x^{2}$ $+ 47 x$ $- 60) - (x^{3} - 3 x^{2}) = - 9 x^{2} + 47 x - 60$
$- 9 x^{2} + 47 x - 60$	$- \frac{9 x^{2}}{x}$	$- 9 x$	$- 9 x \cdot (x - 3) = - 9 x^{2} + 27 x$	$(- 9 x^{2} + 47 x - 60) - (- 9 x^{2} + 27 x) = 20 x - 60$
$20 x - 60$	$\frac{20 x}{x}$	$20$	$20 \cdot (x - 3) = 20 x - 60$	$(20 x - 60) - (20 x - 60) = 0$

⇥⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} - 9 x + 20

⇥⇥1.3.3) Factorisons dans

ℝ

(x^{2} - 9 x + 20)

⇥⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -9

c = 20

⇥⇥

Δ = {(-9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20

⇥⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-9)}^{2}

(-9) \cdot (-9)

81

⇥⇥

Δ = 81 - 4 \cdot 20

⇥⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 20

80

⇥⇥

Δ = 81 - 80

⇥⇥ⓘ On part de

81

et on recule de

80

sur la droite des nombres :

81 - 80

1

⇥⇥

Δ = 1

⇥⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{1} = \frac{9 - 1}{2}

⇥⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

9 - 1

8

⇥⇥

x_{1} = \frac{8}{2}

⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

⇥⇥

x_{1} = 4

⇥⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{2} = \frac{9 + 1}{2}

⇥⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

9 + 1

10

⇥⇥

x_{2} = \frac{10}{2}

⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{10}{2}

5

⇥⇥

x_{2} = 5

⇥⇥Facteurs trouvés :

(x - 4) \cdot (x - 5)

▷Le facteur

(x^{3}

- 12 x^{2}

+ 47 x

- 60)

se factorise en :

(x - 3) \cdot (x - 4) \cdot (x - 5)

▶Expression factorisée :

(x - 2) \cdot (x - 3) \cdot (x - 4) \cdot (x - 5)