factorise x^4-4x^3-7x^2+22x+24 — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

x^{4}

- 4 x^{3}

- 7 x^{2}

+ 22 x

+ 24

⇥1.1) Essayons la solution évidente :

x = -1

⇥Calculons la valeur de :

{(-1)}^{4}

- 4 \cdot {(-1)}^{3}

- 7 \cdot {(-1)}^{2}

+ 22 \cdot (-1)

+ 24

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance d'exposant entier strictement positif est un produit répété :

{(-1)}^{4}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

1

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier strictement positif, une puissance correspond à un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Un produit par -1 donne la valeur opposée :

- 4 \cdot (-1)

4

■On calcule les puissances avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance d'exposant entier strictement positif est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

7 \cdot 1

7

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

22 \cdot (-1)

-22

⇥

1

+ 4

- 7

- 22

+ 24

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

1 + 4

5

⇥

5

- 7

- 22

+ 24

⇥ⓘ On part de

5

et on recule de

7

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

5 - 7

-2

⇥

- 2 - 22 + 24

⇥ⓘ On part de

-2

et on recule encore de

22

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 2 - 22

-24

⇥

- 24 + 24

⇥ⓘ On part de

-24

et on avance de

24

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 24 + 24

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = -1

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(x^{4}

- 4 x^{3}

- 7 x^{2}

+ 22 x

+ 24)

par

(x + 1)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{4}$ $- 4 x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 22 x$ $+ 24$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x + 1) = x^{4} + x^{3}$	$(x^{4}$ $- 4 x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 22 x$ $+ 24) - (x^{4} + x^{3}) = - 5 x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 22 x$ $+ 24$
$- 5 x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 22 x$ $+ 24$	$- \frac{5 x^{3}}{x}$	$- 5 x^{2}$	$- 5 x^{2} \cdot (x + 1) = - 5 x^{3} - 5 x^{2}$	$(- 5 x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 22 x$ $+ 24) - (- 5 x^{3} - 5 x^{2}) = - 2 x^{2} + 22 x + 24$
$- 2 x^{2} + 22 x + 24$	$- \frac{2 x^{2}}{x}$	$- 2 x$	$- 2 x \cdot (x + 1) = - 2 x^{2} - 2 x$	$(- 2 x^{2} + 22 x + 24) - (- 2 x^{2} - 2 x) = 24 x + 24$
$24 x + 24$	$\frac{24 x}{x}$	$24$	$24 \cdot (x + 1) = 24 x + 24$	$(24 x + 24) - (24 x + 24) = 0$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x^{3}

- 5 x^{2}

- 2 x

+ 24

⇥1.3) Factorisons dans

ℝ

(x^{3}

- 5 x^{2}

- 2 x

+ 24)

⇥⇥1.3.1) Testons la solution évidente :

x = -2

⇥⇥Évaluons la valeur de :

{(-2)}^{3}

- 5 \cdot {(-2)}^{2}

- 2 \cdot (-2)

+ 24

⇥⇥ⓘ On calcule les puissances avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance d'exposant entier strictement positif est un produit répété :

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier strictement positif, une puissance correspond à un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Dans un produit, deux signes moins s'annulent : multiplier deux nombres négatifs donne un nombre positif :

- 2 \cdot (-2)

4

⇥⇥

- 8

- 5 \cdot 4

+ 4

+ 24

⇥⇥ⓘ On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 4

20

⇥⇥

- 8

- 20

+ 4

+ 24

⇥⇥ⓘ On part de

-8

et on recule encore de

20

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 8 - 20

-28

⇥⇥

- 28 + 4 + 24

⇥⇥ⓘ On part de

-28

et on avance de

4

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 28 + 4

-24

⇥⇥

- 24 + 24

⇥⇥ⓘ On part de

-24

et on avance de

24

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 24 + 24

0

⇥⇥

0

⇥⇥On trouve la racine :

x = -2

⇥⇥1.3.2) Calculons le quotient et le reste de

(x^{3}

- 5 x^{2}

- 2 x

+ 24)

par

(x + 2)

⇥⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 24$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 24) - (x^{3} + 2 x^{2}) = - 7 x^{2} - 2 x + 24$
$- 7 x^{2} - 2 x + 24$	$- \frac{7 x^{2}}{x}$	$- 7 x$	$- 7 x \cdot (x + 2) = - 7 x^{2} - 14 x$	$(- 7 x^{2} - 2 x + 24) - (- 7 x^{2} - 14 x) = 12 x + 24$
$12 x + 24$	$\frac{12 x}{x}$	$12$	$12 \cdot (x + 2) = 12 x + 24$	$(12 x + 24) - (12 x + 24) = 0$

⇥⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} - 7 x + 12

⇥⇥1.3.3) Mettons en facteurs dans

ℝ

(x^{2} - 7 x + 12)

⇥⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -7

c = 12

⇥⇥

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12

⇥⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance d'exposant entier strictement positif est un produit répété :

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

⇥⇥

Δ = 49 - 4 \cdot 12

⇥⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

⇥⇥

Δ = 49 - 48

⇥⇥ⓘ On part de

49

et on recule de

48

sur la droite des nombres :

49 - 48

1

⇥⇥

Δ = 1

⇥⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{1} = \frac{7 - 1}{2}

⇥⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

7 - 1

6

⇥⇥

x_{1} = \frac{6}{2}

⇥⇥ⓘ Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

⇥⇥

x_{1} = 3

⇥⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{2} = \frac{7 + 1}{2}

⇥⇥ⓘ Avant de diviser, on calcule le numérateur et le dénominateur :

7 + 1

8

⇥⇥

x_{2} = \frac{8}{2}

⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

⇥⇥

x_{2} = 4

⇥⇥Facteurs identifiés :

(x - 3) \cdot (x - 4)

▷Le facteur

(x^{3}

- 5 x^{2}

- 2 x

+ 24)

se factorise en :

(x + 2) \cdot (x - 3) \cdot (x - 4)

▶Expression factorisée :

(x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x - 3) \cdot (x - 4)