factorise x^4-6x^2-2x+4 — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

x^{4}

- 6 x^{2}

- 2 x

+ 4

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = -2

⇥Évaluons la valeur de :

{(-2)}^{4}

- 6 \cdot {(-2)}^{2}

- 2 \cdot (-2)

+ 4

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{4}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

16

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 2 \cdot (-2)

4

⇥

16

- 6 \cdot 4

+ 4

+ 4

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

6 \cdot 4

24

⇥

16

- 24

+ 4

+ 4

⇥ⓘ On part de

16

et on recule de

24

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

16 - 24

-8

⇥

- 8 + 4 + 4

⇥ⓘ On part de

-8

et on avance de

4

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 8 + 4

-4

⇥

- 4 + 4

⇥ⓘ On part de

-4

et on avance de

4

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 4 + 4

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = -2

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de

(x^{4}

- 6 x^{2}

- 2 x

+ 4)

par

(x + 2)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{4}$ $- 6 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 4$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x + 2) = x^{4} + 2 x^{3}$	$(x^{4}$ $- 6 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 4) - (x^{4} + 2 x^{3}) = - 2 x^{3}$ $- 6 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 4$
$- 2 x^{3}$ $- 6 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 4$	$- \frac{2 x^{3}}{x}$	$- 2 x^{2}$	$- 2 x^{2} \cdot (x + 2) = - 2 x^{3} - 4 x^{2}$	$(- 2 x^{3}$ $- 6 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 4) - (- 2 x^{3} - 4 x^{2}) = - 2 x^{2} - 2 x + 4$
$- 2 x^{2} - 2 x + 4$	$- \frac{2 x^{2}}{x}$	$- 2 x$	$- 2 x \cdot (x + 2) = - 2 x^{2} - 4 x$	$(- 2 x^{2} - 2 x + 4) - (- 2 x^{2} - 4 x) = 2 x + 4$
$2 x + 4$	$\frac{2 x}{x}$	$2$	$2 \cdot (x + 2) = 2 x + 4$	$(2 x + 4) - (2 x + 4) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

x^{3}

- 2 x^{2}

- 2 x

+ 2

ⅰ

x^{4}

- 6 x^{2}

- 2 x

+ 4

(x + 2) \cdot (x^{3}

- 2 x^{2}

- 2 x

+ 2)

▶Expression factorisée :

(x + 2) \cdot (x^{3}

- 2 x^{2}

- 2 x

+ 2)