factorise x^4-6x^3+9x^2+4x-12 — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

x^{4}

- 6 x^{3}

+ 9 x^{2}

+ 4 x

- 12

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = -1

⇥Évaluons la valeur de :

{(-1)}^{4}

- 6 \cdot {(-1)}^{3}

+ 9 \cdot {(-1)}^{2}

+ 4 \cdot (-1)

- 12

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{4}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

1

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- 6 \cdot (-1)

6

■Multiplier par 1 ne change rien :

9 \cdot 1

9

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

4 \cdot (-1)

-4

⇥

1

+ 6

+ 9

- 4

- 12

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

6

sur la droite des nombres :

1 + 6

7

⇥

7

+ 9

- 4

- 12

⇥ⓘ On part de

7

et on avance de

9

sur la droite des nombres :

7 + 9

16

⇥

16 - 4 - 12

⇥ⓘ On part de

16

et on recule de

4

sur la droite des nombres :

16 - 4

12

⇥

12 - 12

⇥ⓘ On part de

12

et on recule de

12

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

12 - 12

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = -1

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(x^{4}

- 6 x^{3}

+ 9 x^{2}

+ 4 x

- 12)

par

(x + 1)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{4}$ $- 6 x^{3}$ $+ 9 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 12$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x + 1) = x^{4} + x^{3}$	$(x^{4}$ $- 6 x^{3}$ $+ 9 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 12) - (x^{4} + x^{3}) = - 7 x^{3}$ $+ 9 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 12$
$- 7 x^{3}$ $+ 9 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 12$	$- \frac{7 x^{3}}{x}$	$- 7 x^{2}$	$- 7 x^{2} \cdot (x + 1) = - 7 x^{3} - 7 x^{2}$	$(- 7 x^{3}$ $+ 9 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 12) - (- 7 x^{3} - 7 x^{2}) = 16 x^{2} + 4 x - 12$
$16 x^{2} + 4 x - 12$	$\frac{16 x^{2}}{x}$	$16 x$	$16 x \cdot (x + 1) = 16 x^{2} + 16 x$	$(16 x^{2} + 4 x - 12) - (16 x^{2} + 16 x) = - 12 x - 12$
$- 12 x - 12$	$- \frac{12 x}{x}$	$-12$	$-12 \cdot (x + 1) = - 12 x - 12$	$(- 12 x - 12) - (- 12 x - 12) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

x^{3}

- 7 x^{2}

+ 16 x

- 12

⇥1.3) Factorisons dans

ℝ

(x^{3}

- 7 x^{2}

+ 16 x

- 12)

⇥⇥1.3.1) Essayons d'abord la valeur évidente :

x = 2

⇥⇥Évaluons la valeur de :

2^{3}

- 7 \cdot 2^{2}

+ 16 \cdot 2

- 12

⇥⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

16 \cdot 2

(10 + 6) \cdot 2

10 \cdot 2 + 6 \cdot 2

20 + 12

32

⇥⇥

8

- 7 \cdot 4

+ 32

- 12

⇥⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

7 \cdot 4

28

⇥⇥

8

- 28

+ 32

- 12

⇥⇥ⓘ On part de

8

et on recule de

28

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

8 - 28

-20

⇥⇥

- 20 + 32 - 12

⇥⇥ⓘ On part de

-20

et on avance de

32

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 20 + 32

12

⇥⇥

12 - 12

⇥⇥ⓘ On part de

12

et on recule de

12

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

12 - 12

0

⇥⇥

0

⇥⇥Racine trouvée :

x = 2

⇥⇥1.3.2) Effectuons la division euclidienne :

(x^{3}

- 7 x^{2}

+ 16 x

- 12)

(x - 2)

⇥⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 16 x$ $- 12$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 7 x^{2}$ $+ 16 x$ $- 12) - (x^{3} - 2 x^{2}) = - 5 x^{2} + 16 x - 12$
$- 5 x^{2} + 16 x - 12$	$- \frac{5 x^{2}}{x}$	$- 5 x$	$- 5 x \cdot (x - 2) = - 5 x^{2} + 10 x$	$(- 5 x^{2} + 16 x - 12) - (- 5 x^{2} + 10 x) = 6 x - 12$
$6 x - 12$	$\frac{6 x}{x}$	$6$	$6 \cdot (x - 2) = 6 x - 12$	$(6 x - 12) - (6 x - 12) = 0$

⇥⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} - 5 x + 6

⇥⇥1.3.3) Factorisons dans

ℝ

(x^{2} - 5 x + 6)

⇥⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -5

c = 6

⇥⇥

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6

⇥⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

⇥⇥

Δ = 25 - 4 \cdot 6

⇥⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 6

24

⇥⇥

Δ = 25 - 24

⇥⇥ⓘ On part de

25

et on recule de

24

sur la droite des nombres :

25 - 24

1

⇥⇥

Δ = 1

⇥⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{1} = \frac{5 - 1}{2}

⇥⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 - 1

4

⇥⇥

x_{1} = \frac{4}{2}

⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

⇥⇥

x_{1} = 2

⇥⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{2} = \frac{5 + 1}{2}

⇥⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 + 1

6

⇥⇥

x_{2} = \frac{6}{2}

⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

⇥⇥

x_{2} = 3

⇥⇥Facteurs trouvés :

(x - 2) \cdot (x - 3)

▷Le facteur

(x^{3}

- 7 x^{2}

+ 16 x

- 12)

se factorise en :

{(x - 2)}^{2} \cdot (x - 3)

▶Expression factorisée :

(x + 1) \cdot (x - 3) \cdot {(x - 2)}^{2}