factorise x^4-8x^2+7 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

x^{4} - 8 x^{2} + 7

⇥1.1) Posons :

X = x^{2}

⇥On peut transformer l'expression en :

X^{2} - 8 X + 7

⇥Vu la forme quadratique

a X^{2} + b X + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -8

c = 7

⇥

Δ = {(-8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

⇥

Δ = 64 - 4 \cdot 7

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 7

28

⇥

Δ = 64 - 28

⇥ⓘ On part de

64

et on recule de

28

sur la droite des nombres :

64 - 28

36

⇥

Δ = 36

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{1} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{36}

6

;

6^{2}

36

⇥

X_{1} = \frac{8 - 6}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

8 - 6

2

⇥

X_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

⇥

X_{1} = 1

⇥La formule du second degré donne

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{2} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{36}

6

;

6^{2}

36

⇥

X_{2} = \frac{8 + 6}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

8 + 6

14

⇥

X_{2} = \frac{14}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{14}{2}

7

⇥

X_{2} = 7

⇥Facteurs trouvés :

(X - 1) \cdot (X - 7)

⇥1.2) Factorisons dans

ℝ

(x^{2} - 1) \cdot (x^{2} - 7)

⇥⇥1.2.1) Factorisons dans

ℝ

(x^{2} - 1)

⇥⇥Pour

x^{2} - 1

, on reconnaît une différence de deux carrés :

x^{2} - 1^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = x

b = 1

▷Le facteur

(x^{2} - 1)

se factorise en :

(x + 1) \cdot (x - 1)

⇥⇥1.2.2) Mettons en facteurs dans

ℝ

(x^{2} - 7)