factorise x^4+2x^3-5x^2-12x-4 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

x^{4}

+ 2 x^{3}

- 5 x^{2}

- 12 x

- 4

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = -2

⇥Évaluons la valeur de :

{(-2)}^{4}

+ 2 \cdot {(-2)}^{3}

- 5 \cdot {(-2)}^{2}

- 12 \cdot (-2)

- 4

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{4}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

16

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 12 \cdot (-2)

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

16

+ 2 \cdot (-8)

- 5 \cdot 4

+ 24

- 4

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-8)

-16

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 4

20

⇥

16

- 16

- 20

+ 24

- 4

⇥ⓘ On part de

16

et on recule de

16

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

16 - 16

0

⇥

0

- 20

+ 24

- 4

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 20

-20

■On part de

-20

et on avance de

24

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 20 + 24

4

⇥

4 - 4

⇥ⓘ On part de

4

et on recule de

4

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

4 - 4

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = -2

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(x^{4}

+ 2 x^{3}

- 5 x^{2}

- 12 x

- 4)

(x + 2)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{4}$ $+ 2 x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 12 x$ $- 4$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x + 2) = x^{4} + 2 x^{3}$	$(x^{4}$ $+ 2 x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 12 x$ $- 4) - (x^{4} + 2 x^{3}) = - 5 x^{2} - 12 x - 4$
$- 5 x^{2} - 12 x - 4$	$- \frac{5 x^{2}}{x}$	$- 5 x$	$- 5 x \cdot (x + 2) = - 5 x^{2} - 10 x$	$(- 5 x^{2} - 12 x - 4) - (- 5 x^{2} - 10 x) = - 2 x - 4$
$- 2 x - 4$	$- \frac{2 x}{x}$	$-2$	$-2 \cdot (x + 2) = - 2 x - 4$	$(- 2 x - 4) - (- 2 x - 4) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

x^{3} - 5 x - 2

⇥1.3) Factorisons dans

ℝ

(x^{3} - 5 x - 2)

⇥⇥1.3.1) Testons la solution évidente :

x = -2

⇥⇥Évaluons la valeur de :

{(-2)}^{3} - 5 \cdot (-2) - 2

⇥⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 5 \cdot (-2)

10

⇥⇥

- 8 + 10 - 2

⇥⇥ⓘ On part de

-8

et on avance de

10

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 8 + 10

2

⇥⇥

2 - 2

⇥⇥ⓘ On part de

2

et on recule de

2

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

2 - 2

0

⇥⇥

0

⇥⇥Racine trouvée :

x = -2

⇥⇥1.3.2) Effectuons la division euclidienne :

(x^{3} - 5 x - 2)

(x + 2)

⇥⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3} - 5 x - 2$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2}$	$(x^{3} - 5 x - 2) - (x^{3} + 2 x^{2}) = - 2 x^{2} - 5 x - 2$
$- 2 x^{2} - 5 x - 2$	$- \frac{2 x^{2}}{x}$	$- 2 x$	$- 2 x \cdot (x + 2) = - 2 x^{2} - 4 x$	$(- 2 x^{2} - 5 x - 2) - (- 2 x^{2} - 4 x) = - x - 2$
$- x - 2$	$- \frac{x}{x}$	$-1$	$-1 \cdot (x + 2) = - x - 2$	$(- x - 2) - (- x - 2) = 0$

⇥⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} - 2 x - 1

⇥⇥1.3.3) Mettons en facteurs dans

ℝ

(x^{2} - 2 x - 1)

⇥⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -2

c = -1

⇥⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

⇥⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-1)

⇥⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-1)

4

⇥⇥

Δ = 4 + 4

⇥⇥ⓘ On part de

4

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

4 + 4

8

⇥⇥

Δ = 8

⇥⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{8}}{2}

⇥⇥ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

8

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥⇥

x_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥⇥ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 - \sqrt{2})}{2}

1 - \sqrt{2}

⇥⇥

x_{1} = 1 - \sqrt{2}

⇥⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{8}}{2}

⇥⇥ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

8

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥⇥

x_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥⇥ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{2})}{2}

1 + \sqrt{2}

⇥⇥

x_{2} = 1 + \sqrt{2}

▷Le facteur

(x^{2} - 2 x - 1)

se factorise en :

(x - (1 + \sqrt{2})) \cdot (x - (1 - \sqrt{2}))

⇥1.4) Remplaçons chaque facteur par sa factorisation :

(x + 2) \cdot (x - (1 + \sqrt{2})) \cdot (x - (1 - \sqrt{2}))

⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (1 + \sqrt{2})

- 1 - \sqrt{2}

- (1 - \sqrt{2})

- 1 + \sqrt{2}

⇥

(x + 2) \cdot (x - 1 - \sqrt{2}) \cdot (x - 1 + \sqrt{2})

▷Le facteur

(x^{3} - 5 x - 2)

se factorise en :

(x + 2) \cdot (x + \sqrt{2} - 1) \cdot (x - \sqrt{2} - 1)

▶Expression factorisée :

{(x + 2)}^{2} \cdot (x + \sqrt{2} - 1) \cdot (x - \sqrt{2} - 1)