factorise x^4+7x^2-144 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

x^{4} + 7 x^{2} - 144

⇥1.1) Définissons :

X = x^{2}

⇥On peut réécrire l'expression sous la forme :

X^{2} + 7 X - 144

⇥Étant donné la forme quadratique

a X^{2} + b X + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 7

c = -144

⇥

Δ = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-144)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

7^{2}

7 \cdot 7

49

⇥

Δ = 49 - 4 \cdot (-144)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-144)

4 \cdot 144

4 \cdot (100 + 40 + 4)

4 \cdot 100 + 4 \cdot 40 + 4 \cdot 4

400 + 160 + 16

576

⇥

Δ = 49 + 576

⇥ⓘ On part de

49

et on avance de

576

sur la droite des nombres :

49 + 576

625

⇥

Δ = 625

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{1} = \frac{- 7 - \sqrt{625}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{625}

25

;

25^{2}

625

⇥

X_{1} = \frac{- 7 - 25}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 7 - 25

-32

⇥

X_{1} = - \frac{32}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{32}{2}

-16

⇥

X_{1} = -16

⇥La formule du second degré donne

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{2} = \frac{- 7 + \sqrt{625}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{625}

25

;

25^{2}

625

⇥

X_{2} = \frac{- 7 + 25}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 7 + 25

18

⇥

X_{2} = \frac{18}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{18}{2}

9

⇥

X_{2} = 9

⇥Facteurs identifiés :

(X - 9) \cdot (X + 16)

⇥1.2) Factorisons dans

ℝ

(x^{2} - 9) \cdot (x^{2} + 16)

⇥Factorisons dans

ℝ

(x^{2} - 9)

⇥Pour

x^{2} - 9

, on reconnaît une différence de deux carrés :

x^{2} - 3^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = x

b = 3

▷Le facteur

(x^{2} - 9)

se factorise en :

(x + 3) \cdot (x - 3)

ⓘ Un carré n'étant jamais négatif,

x^{2} + 16

ne s'annule pas et ne se factorise pas dans ℝ

▶Expression factorisée :

(x + 3) \cdot (x - 3) \cdot (x^{2} + 16)