factorise x^6-16x^2 — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

x^{6} - 16 x^{2}

Pour

x^{6} - 16 x^{2}

, on reconnaît une différence de deux carrés :

{(x^{3})}^{2} - {(4 x)}^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = x^{3}

b = 4 x

On peut écrire l'expression :

x^{6} - 16 x^{2}

sous la forme factorisée :

(x^{3} - 4 x) \cdot (x^{3} + 4 x)

2) Factorisons dans

ℝ

(x^{3} - 4 x) \cdot (x^{3} + 4 x)

⇥2.1) Mettons en facteurs dans

ℝ

(x^{3} - 4 x)

⇥On peut mettre l'expression sous forme factorisée :

x \cdot (x^{2} - 4)

⇥Mettons en facteurs dans

ℝ

(x^{2} - 4)

⇥Pour

x^{2} - 4

, on reconnaît une différence de deux carrés :

x^{2} - 2^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = x

b = 2

⇥Facteurs identifiés :

(x + 2) \cdot (x - 2)

▷Le facteur

(x^{3} - 4 x)

se factorise en :

x \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)

⇥2.2) Factorisons dans

ℝ

(x^{3} + 4 x)

⇥On peut mettre l'expression sous forme factorisée :

x \cdot (x^{2} + 4)

▷Le facteur

(x^{3} + 4 x)

se factorise en :

x \cdot (x^{2} + 4)

3) Remplaçons chaque facteur par sa factorisation :

x \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) \cdot x \cdot (x^{2} + 4)

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

■On met en facteur le facteur commun

x^{2}

■Un carré n'étant jamais négatif,

x^{2} + 4

ne s'annule pas et ne se factorise pas dans ℝ

ⅰ

(x^{3} - 4 x) \cdot (x^{3} + 4 x)

x^{2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) \cdot (x^{2} + 4)

■

x^{6} - 16 x^{2}

x^{2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) \cdot (x^{2} + 4)

▶Expression factorisée :

x^{2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) \cdot (x^{2} + 4)