factorise x^6+2x^3-3 — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

x^{6} + 2 x^{3} - 3

⇥1.1) Posons :

X = x^{3}

⇥On peut transformer l'expression en :

X^{2} + 2 X - 3

⇥Vu la forme quadratique

a X^{2} + b X + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 2

c = -3

⇥

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-3)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-3)

12

⇥

Δ = 4 + 12

⇥ⓘ On part de

4

et on avance de

12

sur la droite des nombres :

4 + 12

16

⇥

Δ = 16

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥

X_{1} = \frac{- 2 - 4}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 2 - 4

-6

⇥

X_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{2}

-3

⇥

X_{1} = -3

⇥La formule du second degré donne

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥

X_{2} = \frac{- 2 + 4}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 2 + 4

2

⇥

X_{2} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

⇥

X_{2} = 1

⇥Facteurs trouvés :

(X + 3) \cdot (X - 1)

⇥1.2) Factorisons dans

ℝ

(x^{3} + 3) \cdot (x^{3} - 1)

⇥⇥1.2.1) Factorisons dans

ℝ

(x^{3} + 3)

⇥⇥⇥1.2.1.1) Les racines de

x^{3} + 3

sont les solutions de

x^{3} = -3

⇥⇥⇥On obtient :

\sqrt[3]{3} \cdot \exp (i \cdot \frac{2 k π + π}{3})

(avec k allant de 0 à 2)

⇥⇥⇥

k	Solution exponentielle	Réécrite et simplifiée en
0	$\sqrt[3]{3} \cdot \exp (i \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot π + π}{3}) = \sqrt[3]{3} \cdot \exp (\frac{i π}{3})$	$\sqrt[3]{3} \cdot (\cos (\frac{π}{3}) + i \cdot \sin (\frac{π}{3})) = \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt[6]{243} \cdot i}{2}$
1	$\sqrt[3]{3} \cdot \exp (i \cdot \frac{2 \cdot 1 \cdot π + π}{3}) = \sqrt[3]{3} \cdot \exp (i π)$	$\sqrt[3]{3} \cdot (\cos (π) + i \cdot \sin (π)) = - \sqrt[3]{3}$
2	$\sqrt[3]{3} \cdot \exp (i \cdot \frac{2 \cdot 2 \cdot π + π}{3}) = \sqrt[3]{3} \cdot \exp (\frac{i \cdot 5 π}{3})$	$\sqrt[3]{3} \cdot (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \cdot \sin (\frac{5 π}{3})) = \frac{\sqrt[3]{3} - \sqrt[6]{243} \cdot i}{2}$

⇥⇥⇥Pour les solutions réelles, la factorisation donne :

x + \sqrt[3]{3}

⇥⇥⇥1.2.1.2) Effectuons la division euclidienne :

(x^{3} + 3)

(x + \sqrt[3]{3})

⇥⇥⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3} + 3$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + \sqrt[3]{3}) = x^{3} + \sqrt[3]{3} \cdot x^{2}$	$(x^{3} + 3) - (x^{3} + \sqrt[3]{3} \cdot x^{2}) = - \sqrt[3]{3} \cdot x^{2} + 3$
$- \sqrt[3]{3} \cdot x^{2} + 3$	$- \frac{\sqrt[3]{3} \cdot x^{2}}{x}$	$- x \cdot \sqrt[3]{3}$	$- x \cdot \sqrt[3]{3} \cdot (x + \sqrt[3]{3}) = - \sqrt[3]{3} \cdot x^{2} - \sqrt[3]{9} \cdot x$	$(- \sqrt[3]{3} \cdot x^{2} + 3) - (- \sqrt[3]{3} \cdot x^{2} - \sqrt[3]{9} \cdot x) = \sqrt[3]{9} \cdot x + 3$
$\sqrt[3]{9} \cdot x + 3$	$\frac{\sqrt[3]{9} \cdot x}{x}$	$\sqrt[3]{9}$	$\sqrt[3]{9} \cdot (x + \sqrt[3]{3}) = \sqrt[3]{9} \cdot x + 3$	$(\sqrt[3]{9} \cdot x + 3) - (\sqrt[3]{9} \cdot x + 3) = 0$

⇥⇥⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} - x \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}

⇥⇥ⓘ Les autres racines,

\frac{\sqrt[3]{3} - \sqrt[6]{243} \cdot i}{2}

\frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt[6]{243} \cdot i}{2}

, ne sont pas réelles :

x^{2} - x \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}

ne se factorise pas dans ℝ

▷Le facteur

(x^{3} + 3)

se factorise en :

(x + \sqrt[3]{3}) \cdot (x^{2} - x \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})

⇥⇥1.2.2) Factorisons dans

ℝ

(x^{3} - 1)

⇥⇥⇥1.2.2.1) Les racines de

x^{3} - 1