inflection-x^4+12x^3-12x+13 — solution étape par étape

1) Pour

- x^{4}

+ 12 x^{3}

- 12 x

+ 13

sur ℝ, cherchons où la dérivée seconde s'annule et change de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (- x^{4} + 12 x^{3} - 12 x + 13)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (- x^{4} + 12 x^{3} - 12 x + 13)

\frac{d}{d x} (- x^{4})

+ \frac{d}{d x} (12 x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 12 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (- x^{4})

+ \frac{d}{d x} (12 x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 12 x)

+ 0

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- x^{4})

- 4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (12 x^{3})

12 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 12 x)

-12

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 12 x)

⇥

- 4 x^{3} + 12 \cdot 3 x^{2} - 12

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 3

(10 + 2) \cdot 3

10 \cdot 3 + 2 \cdot 3

30 + 6

36

⇥

- 4 x^{3} + 36 x^{2} - 12

⇥On met en facteur

4

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

- 4 x^{3} + 36 x^{2} - 12

4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

⇥Facteur trouvé :

- x^{3} + 9 x^{2} - 3

La dérivée première est

4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

⇥1.2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3))

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3))

4 \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + 0

⇥

4 \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + 0)

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- x^{3})

- 3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (9 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (9 x^{2})

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (9 x^{2})

9 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

4 \cdot (- 3 x^{2} + 9 \cdot 2 x)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

9 \cdot 2

18

⇥

4 \cdot (- 3 x^{2} + 18 x)

⇥

4 \cdot (18 x - 3 x^{2})

La dérivée seconde est

4 \cdot (18 x - 3 x^{2})

⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

4 \cdot (18 x - 3 x^{2}) = 0

⇥On simplifie l'expression par

4

⇥⇥Résolvons dans

ℝ

18 x - 3 x^{2} = 0

⇥⇥On peut mettre l'expression sous forme factorisée :

x \cdot (18 - 3 x)

⇥⇥Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥⇥⇥1.3.1) Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥⇥⇥Solution obtenue :

x = 0

⇥⇥⇥1.3.2) Résolvons dans

ℝ

18 - 3 x = 0

⇥⇥⇥

3 x = 18

⇥⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

3

⇥⇥⇥

x = \frac{18}{3}

⇥⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{18}{3}

6

⇥⇥⇥Solution trouvée :

x = 6

⇥1.4) Dérivons :

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

4 \cdot \frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

⇥

4 \cdot (\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}))

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (18 x)

18

\frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

-3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

4 \cdot (18 - 3 \cdot 2 x)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 2

6

⇥

4 \cdot (18 - 6 x)

⇥Factorisons dans

ℝ

(18 - 6 x)

⇥On met en facteur

6

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

18 - 6 x

6 \cdot (3 - x)

⇥Facteur identifié :

3 - x

⇥

4 \cdot 6 \cdot (3 - x)

⇥ⅰ

4 \cdot 6

24

⇥

24 \cdot (3 - x)

x = 0

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 1 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

0

, la dérivée seconde est négative à gauche et positive à droite : la courbe passe de concave à convexe

⇥

- 0^{4}

+ 12 \cdot 0^{3}

- 12 \cdot 0

+ 13

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

12 \cdot 0

0

■Additionner 0 ne change rien :

0 + 13

13

⇥

0 + 0 + 13

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 0 + 13

13

⇥

13

L'ordonnée est f(

0

) =

13

⇥1.5) Dérivons :

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

4 \cdot \frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

⇥

4 \cdot (\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}))

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (18 x)

18

\frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

-3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

4 \cdot (18 - 3 \cdot 2 x)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 2

6

⇥

4 \cdot (18 - 6 x)

⇥Factorisons dans

ℝ

(18 - 6 x)

⇥On met en facteur

6

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

18 - 6 x

6 \cdot (3 - x)

⇥Facteur identifié :

3 - x

⇥

4 \cdot 6 \cdot (3 - x)

⇥ⅰ

4 \cdot 6

24

⇥

24 \cdot (3 - x)

x = 6

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 1 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

6

, la dérivée seconde est positive à gauche et négative à droite : la courbe passe de convexe à concave

⇥

- 6^{4}

+ 12 \cdot 6^{3}

- 12 \cdot 6

+ 13

⇥ⓘ Sans parenthèses, le signe moins ne fait pas partie de la puissance■Une puissance entière est un produit répété :

- 6^{4}

- (6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6)

-1296

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

6^{3}

6 \cdot 6 \cdot 6

216

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 6

(10 + 2) \cdot 6

10 \cdot 6 + 2 \cdot 6

60 + 12

72

⇥

- 1296

+ 12 \cdot 216

- 72

+ 13

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 216

(10 + 2) \cdot 216

10 \cdot 216 + 2 \cdot 216

2160 + 432

2592

⇥

- 1296

+ 2592

- 72

+ 13

⇥ⓘ On part de

-1296

et on avance de

2592

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 1296 + 2592

1296

⇥

1296 - 72 + 13

⇥ⓘ On part de

1296

et on recule de

72

sur la droite des nombres :

1296 - 72

1224

⇥

1224 + 13

⇥ⓘ On part de

1224

et on avance de

13

sur la droite des nombres :

1224 + 13

1237

⇥

1237

L'ordonnée est f(

6

) =

1237

▶Points d'inflexion :

{(0; 13); (6; 1237)}

🖼/draw?f1=-x%5E4+%2B+12*x%5E3+-+12*x+%2B+13&v=x&b=-3.0&e=9.0&min=-600.8&max=2336.8&points=0%2C13%3B6%2C1237