integ(x*cos(x), x, [0,1])
1) Intégrons : ∫01x·cos(x)dx
⇥Pour x·cos(x), appliquons l'intégration par parties : ∫u1·v2'dx = u1·v2 -∫u1'·v2dx avec u1 = x et v2' = cos(x)
⇥Donc u1' vaut 1
⇥1.1) Intégrons v2' : ∫cos(x)dx
⇥ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x), donc sin(x) est une primitive de cos(x) : ∫cos(x)dx = sin(x)
⇥ sin(x)
⇥1.2) Calculons u1·v2 -∫u1'·v2dx : x·sin(x) -∫sin(x)dx
⇥ⓘ En dérivant cos(x), on obtient -sin(x) : cos(x) est donc une primitive de -sin(x) : -∫sin(x)dx = cos(x)
⇥ x·sin(x) + cos(x)
Puis on reprend le calcul d'intégrale :
ⅰ ∫x·cos(x)dx = x·sin(x) + cos(x)
▷ x·sin(x) + cos(x)
2) Évaluons sur l'intervalle [0 ; 1] : (1·sin(1) + cos(1)) -(0·sin(0) + cos(0))
ⓘ Avec un signe moins devant les parenthèses, on change le signe de chaque terme à l'intérieur : -(0·sin(0) + cos(0)) = 0·sin(0) -cos(0)
sin(1) + cos(1) + 0·sin(0) -cos(0)
ⓘ Si un facteur est nul, le produit est nul : 0·sin(0) = 0■Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de 0 radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable : -cos(0) = -1
sin(1) + cos(1) + 0 -1
ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale : 0 -1 = -1
sin(1) + cos(1) -1
▶Intégrale :   cos(1) + sin(1) -1
3) La valeur numérique de : cos(1) + sin(1) -1 est :
ⓘ Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de 1 radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite■Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de 1 radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite
≈ 0,5403 + ≈ 0,8415 -1
≈ 1,3818 -1
▷ ≈ 0,3818
Nouvelle discussion EN ES FR