integrale de 1/(1-x^2) entre -1/4 et 1/4

1) Intégrons :

\int_{- \frac{1}{4}}^{\frac{1}{4}} \frac{1}{1 - x^{2}} d x

2) Factorisons dans

ℝ

1 - x^{2}

Pour

1 - x^{2}

, on reconnaît une différence de deux carrés :

1^{2} - x^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = 1

b = x

Facteurs trouvés :

(1 - x) \cdot (x + 1)

3) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

\frac{1}{(1 - x) \cdot (x + 1)} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{x + 1}

Pour le facteur simple :

1 - x

et sa racine :

1

, on peut facilement calculer l'inconnue A en multipliant par le dénominateur :

1 - x^{2}

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

4) Résolvons dans

ℝ

(1 + 1) \cdot A = 1

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

1 + 1

2

2 A = 1

ⓘ Divisons les deux membres par

2

Solution obtenue :

A = \frac{1}{2}

Pour le facteur simple :

x + 1

et sa racine :

-1

, on calcule B en multipliant par le dénominateur :

1 - x^{2}

puis en évaluant à la racine, car les autres termes s'annulent :

5) Effectuons la résolution dans

ℝ

(1 + 1) \cdot B = 1

ⓘ On commence par calculer ce qui est entre parenthèses :

1 + 1

2

2 B = 1

ⓘ On divise les deux membres par

2

Solution trouvée :

B = \frac{1}{2}

6) Pour finir, on remplace les inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

\frac{1}{(1 - x) \cdot (x + 1)} = \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} + \frac{1}{2 \cdot (x + 1)}

7) Calculons l'intégrale :

\int (\frac{1}{2 \cdot (1 - x)} + \frac{1}{2 \cdot (x + 1)}) d x

ⅰ

\int (\frac{1}{2 \cdot (1 - x)} + \frac{1}{2 \cdot (x + 1)}) d x

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} d x + \int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} d x + \int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x

Posons

u = 2 - 2 x

. Alors

du = - 2 dx

, donc

dx = - \frac{du}{2}

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} d x = - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

On utilise

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

2 - 2 x \neq 0

On remplace

u

par

2 - 2 x

dans la primitive

On pose

u = 2 x + 2

. Alors

du = 2 dx

, donc

dx = \frac{du}{2}

\int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

On utilise

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

2 x + 2 \neq 0

Remplaçons

u

par

2 x + 2

dans la primitive

ⓘ La dérivée de

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

est

\frac{1}{2 \cdot (x + 1)}

, donc

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

est une primitive de

\frac{1}{2 \cdot (x + 1)}

\int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 2 - 2 x | + \frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 - 2 x |

\frac{1 \cdot \ln | 2 - 2 x |}{2}

\frac{\ln | 2 - 2 x |}{2}

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

\frac{1 \cdot \ln | 2 x + 2 |}{2}

\frac{\ln | 2 x + 2 |}{2}

■Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

- \frac{\ln | 2 - 2 x |}{2} + \frac{\ln | 2 x + 2 |}{2}

\ln (\frac{\sqrt{| 2 x + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 x |}})

ⅰ

\int \frac{1}{1 - x^{2}} d x

\ln (\frac{\sqrt{| 2 x + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 x |}})

▷

\ln (\frac{\sqrt{| 2 x + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 x |}})

8) Évaluons sur l'intervalle

[- \frac{1}{4}; \frac{1}{4}]

\ln (\frac{\sqrt{| 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 \cdot \frac{1}{4} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| 2 \cdot (- \frac{1}{4}) + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 \cdot (- \frac{1}{4}) |}})

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{1}{4}

\frac{2 \cdot 1}{4}

\frac{2}{4}

■Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{4}

\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{1}{2}

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

■On place le signe moins devant le produit :

2 \cdot (- \frac{1}{4})

- 2 \cdot \frac{1}{4}

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 2 \cdot (- \frac{1}{4})

2 \cdot \frac{1}{4}

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{1}{2} + 2 |}}{\sqrt{| 2 - \frac{1}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| - 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 |}}{\sqrt{| 2 + 2 \cdot \frac{1}{4} |}})

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} + 2

\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}

2 - \frac{1}{2}

\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}

■Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{1}{4}

\frac{2 \cdot 1}{4}

\frac{2}{4}

■Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

\frac{2}{4}

\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{1}{2}

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{1 + 2 \cdot 2}{2} |}}{\sqrt{| \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| - \frac{1}{2} + 2 |}}{\sqrt{| 2 + \frac{1}{2} |}})

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

■On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{1}{2} + 2

\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

■On additionne des fractions en les mettant au même dénominateur, puis en additionnant leurs numérateurs :

2 + \frac{1}{2}

\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{1 + 4}{2} |}}{\sqrt{| \frac{4 - 1}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2} |}}{\sqrt{| \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} |}})

ⓘ Avant de diviser, on calcule le numérateur et le dénominateur :

1 + 4

5

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 - 1

3

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

■On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{- 1 + 4}{2} |}}{\sqrt{| \frac{4 + 1}{2} |}})

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 4

3

■Avant de diviser, on calcule le numérateur et le dénominateur :

4 + 1

5

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}})

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}})

\ln (\frac{\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}}{\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}})

\ln (\frac{\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}}{\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}})

ⓘ Diviser revient à multiplier par l'inverse :

\frac{\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}}{\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}}

\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}} \cdot \frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}} \cdot \frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}

{(\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}})}^{2}

\ln ({(\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}})}^{2})

ⓘ L'expression dans la valeur absolue est positive ou nulle, donc sa valeur absolue est égale à cette expression :

| \frac{5}{2} |

\frac{5}{2}

■L'expression dans la valeur absolue est positive ou nulle, par conséquent sa valeur absolue est égale à cette expression :

| \frac{3}{2} |

\frac{3}{2}

\ln ({(\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}})}^{2})

ⓘ La racine d'un quotient est le quotient des racines,

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

\sqrt{\frac{5}{2}}

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}

\sqrt{\frac{3}{2}}

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

■La puissance d'un quotient est le quotient des puissances,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}})}^{2}

\frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}}

\ln (\frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}})

ⓘ La puissance d'un quotient est le quotient des puissances,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})}^{2}

\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}

{(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}

\frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}

\ln (\frac{\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}}{\frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}})

ⓘ Pour diviser, on multiplie par l'inverse du diviseur :

\frac{\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}}{\frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}}

\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} \cdot \frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{{(\sqrt{3})}^{2}}

■Une puissance de puissance multiplie les exposants,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{5})}^{2}

5^{\frac{1}{2} \cdot 2}

{(\sqrt{2})}^{2}

2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

{(\sqrt{3})}^{2}

3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\ln (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}

\frac{5^{\frac{2}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{\frac{2}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

2^{\frac{2}{2}}

\frac{5^{\frac{2}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{\frac{2}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}

\ln (\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}})

ⓘ Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

\ln (\frac{5^{1}}{3^{1}})

▶Intégrale :

\ln (\frac{5}{3})

9) La valeur numérique de :

\ln (\frac{5}{3})

vaut :

\ln (\approx 1,6667)

▷

\approx 0,5108