integrale de 1/(12sqrt(x)+12x) — solution étape par étape

1) Avant de faire l'intégration, calculons :

\frac{1}{12 \sqrt{x} + 12 x}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{1}{12 \sqrt{x} + 12 x}

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

2) Calculons l'intégrale :

\int \frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

, sachant que (ln(a))' = a'/a, on tente de dériver

\ln (1 + \sqrt{x})

3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (1 + \sqrt{x}))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

1 + \sqrt{x}

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (1 + \sqrt{x}))

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{x}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{x}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot 1}{1 + \sqrt{x}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x})

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

■La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1 + \sqrt{x}}

ⓘ Diviser une fraction par

1 + \sqrt{x}

revient à multiplier son dénominateur par

1 + \sqrt{x}

\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1 + \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

\frac{1}{2 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

est

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

, donc

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

est une primitive de

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

\int \frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})} d x

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

\frac{1 \cdot \ln (1 + \sqrt{x})}{6}

\frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{6}

\frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{6}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{\ln (\sqrt{x} + 1)}{6} + C