integrale de 1/(2-t)+1/(2+t) — solution étape par étape

Intégrons :

\int (\frac{1}{2 - t} + \frac{1}{2 + t}) d t

ⅰ

\int (\frac{1}{2 - t} + \frac{1}{2 + t}) d t

\int \frac{1}{2 - t} d t + \int \frac{1}{2 + t} d t

\int \frac{1}{2 - t} d t + \int \frac{1}{2 + t} d t

On pose

u = 2 - t

. Alors

du = - dt

, donc

dt = - du

\int \frac{1}{2 - t} d t = -1 \cdot \int \frac{1}{u} d u

On utilise

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

2 - t \neq 0

On remplace

u

par

2 - t

dans la primitive

On pose

u = 2 + t

. Alors

du = dt

, donc

dt = du

\int \frac{1}{2 + t} d t = \int \frac{1}{u} d u

On utilise

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

2 + t \neq 0

On remplace

u

par

2 + t

dans la primitive

ⓘ La dérivée de

\ln | 2 + t |

est

\frac{1}{2 + t}

, donc

\ln | 2 + t |

est une primitive de

\frac{1}{2 + t}

\int \frac{1}{2 + t} d t

\ln | 2 + t |

- 1 \cdot \ln | 2 - t | + \ln | 2 + t |

ⓘ Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot \ln | 2 - t |

\ln | 2 - t |

- \ln | 2 - t | + \ln | 2 + t |

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient, ln(a) + ln(b) = ln(a*b) :

- \ln | 2 - t | + \ln | 2 + t |

\ln (\frac{| 2 + t |}{| 2 - t |})

\ln (\frac{| 2 + t |}{| 2 - t |})

ⓘ Le quotient des valeurs absolues est la valeur absolue du quotient :

\frac{| 2 + t |}{| 2 - t |}

| \frac{2 + t}{2 - t} |

\ln | \frac{2 + t}{2 - t} |

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\ln | \frac{t + 2}{2 - t} | + C