integrale de 1/(2-x^2) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int(\frac{1}{2 - x^{2}})dx

Mettons en facteurs dans

ℝ

2 - x^{2}

Facteurs trouvés :

- (x + \sqrt{2}) \cdot (x - \sqrt{2})

2) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

\frac{1}{- (x + \sqrt{2}) \cdot (x - \sqrt{2})} = \frac{A}{x + \sqrt{2}} + \frac{B}{x - \sqrt{2}}

Pour le facteur simple :

x + \sqrt{2}

et sa racine :

- \sqrt{2}

, on peut facilement calculer l'inconnue A en multipliant par le dénominateur :

2 - x^{2}

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

3) Résolvons dans

ℝ

- (- \sqrt{2} - \sqrt{2}) \cdot A = 1

- -2 \cdot \sqrt{2} \cdot A = 1

2 \cdot \sqrt{2} \cdot A = 1

A = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

Par convention, on préfère placer les racines carrées numériques au numérateur :

A = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

Solution obtenue :

A = \frac{\sqrt{2}}{4}

Pour le facteur simple :

x - \sqrt{2}

et sa racine :

\sqrt{2}

, on calcule B en multipliant par le dénominateur :

2 - x^{2}

puis en évaluant à la racine (les autres termes s'annulent) :

4) Résolvons dans

ℝ

- (\sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot B = 1

- 2 \cdot \sqrt{2} \cdot B = 1

B = \frac{1}{- 2 \cdot \sqrt{2}}

B = - \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

Par convention, on préfère placer les racines carrées numériques au numérateur :

B = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

Solution obtenue :

B = - \frac{\sqrt{2}}{4}

5) Pour finir, on remplace les inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{x + \sqrt{2}} - \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{x - \sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{x - \sqrt{2}}

ℹ

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}

‖

- \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{x - \sqrt{2}}

- \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x - \sqrt{2})}

\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})} - \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x - \sqrt{2})}

6) Intégrons :

\int(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})} - \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x - \sqrt{2})})dx

\int(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})})dx - \int(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x - \sqrt{2})})dx

On pose

u = 4 x + 4 \cdot \sqrt{2}

. Alors

du = 4 dx

, donc

dx = \frac{du}{4}

\int(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})})dx = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \int(\frac{1}{u})du

On utilise

\int(\frac{1}{u})du = \ln (abs (u))

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

4 x + 4 \cdot \sqrt{2}!= 0

On remplace

u

par

4 x + 4 \cdot \sqrt{2}

dans la primitive