integrale de 1/((arcsin(x))^3sqrt(1-x^2))

1) Intégrons :

\int \frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

, sachant que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), on tente de dériver

{\arcsin (x)}^{- 3 + 1}

2) Dérivons :

\frac{d}{d x} ({\arcsin (x)}^{- 3 + 1})

ⓘ L'exposant se calcule avant la puissance :

- 3 + 1

-2

\frac{d}{d x} ({\arcsin (x)}^{-2})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

\arcsin (x)

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({\arcsin (x)}^{-2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x)) \cdot {\arcsin (x)}^{-3}

-2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x)) \cdot {\arcsin (x)}^{-3}

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- 2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x)) \cdot {\arcsin (x)}^{-3}

- \frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x))}{{\arcsin (x)}^{3}}

- \frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x))}{{\arcsin (x)}^{3}}

ⓘ La dérivée de arcsin(x) est 1/sqrt(1 - x^2) :

\frac{d}{d x} (\arcsin (x))

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{{\arcsin (x)}^{3}}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{{\arcsin (x)}^{3}}

ⓘ Diviser une fraction par

{\arcsin (x)}^{3}

revient à multiplier son dénominateur par

{\arcsin (x)}^{3}

- \frac{\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{{\arcsin (x)}^{3}}

- \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot {\arcsin (x)}^{3}}

- \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot {\arcsin (x)}^{3}}

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

est

\frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

, donc

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

est une primitive de

\frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

\int \frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

- \frac{1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}} + C