integrale de 12x^2ln(x) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int 12 x^{2} \cdot \ln (x) d x

⇥On sort le facteur constant

12

de l'intégrale. Pour

12 x^{2} \cdot \ln (x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int 12 \cdot u1 \cdot v2' d x = 12 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

avec u1 =

\ln (x)

et v2' =

x^{2}

⇥1.1) Effectuons la dérivation u1 :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥1.2) Intégrons v2' :

\int x^{2} d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

⇥

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.3) Calculons

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{2}}{3}

⇥

\frac{x^{2}}{3}

⇥1.4) Calculons

12 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

12 \cdot (\ln (x) \cdot \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x)

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\ln (x) \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3}

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int \frac{x^{2}}{3} d x

- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

12 \cdot (\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3})

⇥ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{3 \cdot 3}

\frac{x^{3}}{9}

⇥

12 \cdot (\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

\frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

⇥

12 \cdot (\frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9})

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

12 \cdot \frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

\frac{12 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{9}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{12 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{9}

\frac{4 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{3}

⇥

\frac{4 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{3}

⇥ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{4 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{3}

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

⇥

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

On termine finalement l'intégration :

ⅰ

\int 12 x^{2} \cdot \ln (x) d x

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)

12 x^{3} \cdot \ln (x) + 4 \cdot (- x^{3})

\frac{12 x^{3} \cdot \ln (x) + 4 \cdot (- x^{3})}{3}

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

4 \cdot (- x^{3})

- 4 x^{3}

\frac{12 x^{3} \cdot \ln (x) - 4 x^{3}}{3}

ⓘ Une fraction dont le numérateur est une somme se sépare terme à terme, (a + b)/c = a/c + b/c :

\frac{12 x^{3} \cdot \ln (x) - 4 x^{3}}{3}

4 \cdot x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{4 x^{3}}{3}

4 \cdot x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{4 x^{3}}{3}

On met en facteur

4

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

4 x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{4 x^{3}}{3}

4 \cdot (x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{3})

Facteur identifié :

x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{3}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

4 \cdot (x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{3}) + C