integrale de 2cos^2(x) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int 2 \cdot {\cos (x)}^{2} d x

On abaisse le carré avec l'identité

{\cos (x)}^{2} = \frac{1 + \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int 2 \cdot {\cos (x)}^{2} d x

\int (1 + \cos (2 x)) d x

\int (1 + \cos (2 x)) d x

Pour l'expression mathématique :

\cos (2 x)

, sachant que (sin(a))' = a'*cos(a), on tente de dériver

\sin (2 x)

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

2 x

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⅰ

\int (1 + \cos (2 x)) d x

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{2}

\frac{\sin (2 x)}{2}

■La dérivée de

x

est

1

, donc

x

est une primitive de

1

\int 1 d x

x

\frac{\sin (2 x)}{2} + x

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

x + \frac{\sin (2 x)}{2} + C