integrale de 2xsqrt(2x-1) — solution étape par étape

⚠ 2x est lu comme le produit 2*x : pour une puissance, écrivez 2^x

⚠ 2xsqrt(2x-1) est lu comme 2x*sqrt(2x-1) : utilisez * pour une multiplication, utilisez ^ pour une puissance

1) Intégrons :

\int(2 x \cdot \sqrt{2 x - 1})dx

Pour

2 x \cdot \sqrt{2 x - 1}

, on utilise l'intégration par parties :

\int(u1 \cdot v2')dx = u1 \cdot v2 - \int(u1' \cdot v2)dx

avec u1 =

x

et v2' =

\sqrt{2 x - 1}

Donc

u1'

correspond à

1

2) Intégrons v2' :

\int(\sqrt{2 x - 1})dx

Pour l'expression mathématique :

\sqrt{2 x - 1}

, connaissant la formule de dérivation suivante :

\frac{d}{d x} (a^{n}) = n a^{(n - 1)}

, on peut essayer de dériver avec la fonction ^(m+1)

3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({(2 x - 1)}^{(\frac{1}{2} + 1)})

\frac{d}{d x} ({(2 x - 1)}^{(\frac{1 + 2}{2})})

\frac{d}{d x} ({(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{(n - 1)}

avec f =

2 x - 1

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot {(2 x - 1)}^{(\frac{3}{2} - 1)}

ℹ

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot {(2 x - 1)}^{(\frac{3}{2} - 1)}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot {(2 x - 1)}^{(\frac{3}{2} - 1)}}{2}

‖

\frac{d}{d x} (2 x - 1)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

‖

\frac{3}{2} - 1

\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}

\frac{3 \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + 0) \cdot {(2 x - 1)}^{(\frac{3 - 1 \cdot 2}{2})}}{2}

ℹ

\frac{d}{d x} (2 x)

2

‖

-1 \cdot 2

-2

\frac{3 \cdot 2 \cdot {(2 x - 1)}^{(\frac{3 - 2}{2})}}{2}

ℹ

3 \cdot 2

6

‖

3 - 2

1

\frac{6 \cdot \sqrt{2 x - 1}}{2}

3 \cdot \sqrt{2 x - 1}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

\frac{1}{3} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}

\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}

Donc la valeur de

v2

est

\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}

4) Calculons l'intégrale

u1 \cdot v2 - \int(u1' \cdot v2)dx

2 \cdot (x \cdot \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int(\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3})dx)

Pour l'expression mathématique :

\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}

, en utilisant la formule de dérivation suivante :

\frac{d}{d x} (a^{n}) = n a^{(n - 1)}

, on peut tenter de dériver avec ^(m+1)

5) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({(2 x - 1)}^{(\frac{3}{2} + 1)})

\frac{d}{d x} ({(2 x - 1)}^{(\frac{3 + 2}{2})})

\frac{d}{d x} ({(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{(n - 1)}

avec f =

2 x - 1

\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot {(2 x - 1)}^{(\frac{5}{2} - 1)}

ℹ

\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot {(2 x - 1)}^{(\frac{5}{2} - 1)}

\frac{5 \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot {(2 x - 1)}^{(\frac{5}{2} - 1)}}{2}

‖

\frac{d}{d x} (2 x - 1)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

‖

\frac{5}{2} - 1

\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}

\frac{5 \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + 0) \cdot {(2 x - 1)}^{(\frac{5 - 1 \cdot 2}{2})}}{2}

ℹ

\frac{d}{d x} (2 x)

2

‖

-1 \cdot 2

-2

\frac{5 \cdot 2 \cdot {(2 x - 1)}^{(\frac{5 - 2}{2})}}{2}

ℹ

5 \cdot 2

10

‖

5 - 2

3

\frac{10 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}

5 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

2 \cdot (\frac{x \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}})

ℹ

- \frac{1}{15} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}

- \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}

‖

\frac{x \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}

\frac{5 \cdot x \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}

2 \cdot (\frac{5 \cdot x \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15})

ℹ

2 \cdot \frac{5 x \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}

\frac{2 \cdot (5 x \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15}

‖

\frac{2 \cdot (5 x \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15}

\frac{2 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot (5 x - (2 x - 1))}{15}

\frac{2 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot (5 x - (2 x - 1))}{15}

\frac{2 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot (5 x - 2 x + 1)}{15}

\frac{2 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x + 1)}{15}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{2 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x + 1)}{15} + C