integrale de 5cos(x)-4sin(x) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int (5 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) d x

Pour l'expression mathématique :

5 \cdot \cos (x)

, sachant que (sin(a))' = a'*cos(a), on tente de dériver

\sin (x)

2) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\sin (x))

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (x))

\cos (x)

\cos (x)

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⅰ

\int (5 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x)) d x

5 \cdot \sin (x) + \int (- 4 \cdot \sin (x)) d x

5 \cdot \sin (x) + \int (- 4 \cdot \sin (x)) d x

Pour l'expression mathématique :

4 \cdot \sin (x)

, sachant que (cos(a))' = -a'*sin(a), on tente de dériver

\cos (x)

3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\cos (x))

ⓘ La dérivée de cos(x) est -sin(x) :

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

- \sin (x)

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

- (-4 \cdot \cos (x))

est

- 4 \cdot \sin (x)

, donc

- (-4 \cdot \cos (x))

est une primitive de

- 4 \cdot \sin (x)

\int (- 4 \cdot \sin (x)) d x

- (-4 \cdot \cos (x))

5 \cdot \sin (x) - (-4 \cdot \cos (x))

ⓘ On extrait les signes moins : un nombre pair de signes moins s'annule, un nombre impair laisse un signe moins :

- (-4 \cdot \cos (x))

4 \cdot \cos (x)

5 \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x)

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

4 \cdot \cos (x) + 5 \cdot \sin (x) + C