integrale de 5e^x-cos(x)+3x^2-1/x

1) Calculons l'intégrale :

\int (5 e^{x} - \cos (x) + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

Pour l'expression mathématique :

- \cos (x)

, sachant que (sin(a))' = a'*cos(a), on tente de dériver

\sin (x)

2) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\sin (x))

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (x))

\cos (x)

\cos (x)

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⅰ

\int (5 e^{x} - \cos (x) + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

- \sin (x) + \int (5 e^{x} + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

- \sin (x) + \int (5 e^{x} + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

Pour l'expression mathématique :

5 e^{x}

, sachant que (exp(a))' = a'*exp(a), on tente de dériver

\exp (x)

3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\exp (x))

ⓘ La dérivée de exp(x) est exp(x) :

\frac{d}{d x} (\exp (x))

\exp (x)

\exp (x)

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⅰ

\int (5 e^{x} + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

5 e^{x} + \int (3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

- \sin (x) + (5 e^{x} + \int (3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x)

ⅰ

\int (3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

\int 3 x^{2} d x - \int \frac{1}{x} d x

- \sin (x) + 5 e^{x} + (\int 3 x^{2} d x - \int \frac{1}{x} d x)

ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int 3 x^{2} d x

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

■La dérivée de

- \ln | x |

est

- \frac{1}{x}

, donc

- \ln | x |

est une primitive de

- \frac{1}{x}

- \int \frac{1}{x} d x

- \ln | x |

- \sin (x)

+ 5 e^{x}

+ 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

- \ln | x |

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{3 x^{3}}{3}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{3 x^{3}}{3}

x^{3}

- \sin (x)

+ 5 e^{x}

+ x^{3}

- \ln | x |

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

5 e^{x}

+ x^{3}

- \ln | x |

- \sin (x)

+ C