integrale de 7arccos(x) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int 7 \cdot \arccos (x) d x

⇥On sort le facteur constant

7

de l'intégrale. Pour

7 \cdot \arccos (x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int 7 \cdot u1 \cdot v2' d x = 7 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

avec u1 =

\arccos (x)

et v2' =

1

⇥1.1) Effectuons la dérivation u1 :

\frac{d}{d x} (\arccos (x))

⇥ⓘ La dérivée de arccos(x) est -1/sqrt(1 - x^2) :

\frac{d}{d x} (\arccos (x))

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥1.2) Intégrons v2' :

\int 1 d x

⇥ⓘ La dérivée de

x

est

1

, donc

x

est une primitive de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Évaluons

u1' \cdot v2

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot x

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot x

- \frac{1 \cdot x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥1.4) Calculons

7 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

7 \cdot (\arccos (x) \cdot x - \int (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x)

⇥Pour l'expression mathématique :

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

, sachant que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), on tente de dériver

{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + 1}

⇥1.5) Dérivons :

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + 1})

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{1}{2} + 1

\frac{- 1 + 2}{2}

⇥

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 + 2}{2}})

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 2

1

⇥

\frac{d}{d x} (\sqrt{1 - x^{2}})

⇥On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

avec f =

1 - x^{2}

⇥ⓘ La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{1 - x^{2}})

\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 - x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})

⇥

\frac{0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})

\frac{d}{d x} (- x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

⇥

- \frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

⇥ⓘ La dérivée de

- \sqrt{1 - x^{2}}

est

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

, donc

- \sqrt{1 - x^{2}}

est une primitive de

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \int (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x

- \sqrt{1 - x^{2}}

⇥

7 \cdot \arccos (x) \cdot x + 7 \cdot (- \sqrt{1 - x^{2}})

⇥ⓘ On place le signe moins devant le produit :

7 \cdot (- \sqrt{1 - x^{2}})

- 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

⇥

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

On poursuit ensuite le calcul d'intégrale :

ⅰ

\int 7 \cdot \arccos (x) d x

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

On met en facteur

7

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

7 \cdot (\arccos (x) \cdot x - \sqrt{1 - x^{2}})

Facteur identifié :

x \cdot \arccos (x) - \sqrt{1 - x^{2}}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

7 \cdot (x \cdot \arccos (x) - \sqrt{1 - x^{2}}) + C