integrale de 8/(4*t^2+1)^2 — solution étape par étape

Calculons l'intégrale :

\int \frac{8}{{(4 t^{2} + 1)}^{2}} d t

Le dénominateur

4 t^{2} + 1

est strictement positif sur ℝ. On pose

u = 2 t

, donc

du = 2 dt

L'intégrale devient

4

fois

\int \frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}} d u

La règle du quotient et la dérivée de atan donnent

{(\frac{u}{1 + u^{2}} + \arctan (u))}^{'}

2 \cdot \frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}}

: une primitive de

\frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}}

est

\frac{\frac{u}{1 + u^{2}} + \arctan (u)}{2}

On multiplie cette primitive par

4

, puis on remplace

u

2 \cdot (\frac{2 t}{1 + {(2 t)}^{2}} + \arctan (2 t))

ⓘ La puissance d'un produit est le produit des puissances :

{(2 t)}^{2}

2^{2} \cdot t^{2}

■On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot (\frac{2 t}{1 + 2^{2} \cdot t^{2}} + \arctan (2 t))

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 2^{2} \cdot t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 2^{2} \cdot t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 4 t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 4 t^{2}}

\frac{2 \cdot 2 \cdot t}{1 + 4 t^{2}}

\frac{4 t}{1 + 4 t^{2}}

\frac{4 t}{1 + 4 t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{4 t}{4 t^{2} + 1} + 2 \cdot \arctan (2 t) + C