integrale de cos^2(x/3) — solution étape par étape

1) Intégrons :

\int {\cos (\frac{x}{3})}^{2} d x

On abaisse le carré avec l'identité

{\cos (\frac{x}{3})}^{2} = \frac{1 + \cos (2 \cdot \frac{x}{3})}{2}

ⅰ

\int {\cos (\frac{x}{3})}^{2} d x

\int \frac{1 + \cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\int \frac{1 + \cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

ⅰ

\int \frac{1 + \cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2}

, sachant que (sin(a))' = a'*cos(a), on tente de dériver

\sin (\frac{2 x}{3})

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{2 x}{3}))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

\frac{2 x}{3}

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{2 x}{3}))

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u'. La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3})

\frac{2}{3}

\frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

\frac{2 \cdot \cos (\frac{2 x}{3})}{3}

\frac{2 \cdot \cos (\frac{2 x}{3})}{3}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{1}{2} \cdot x

est

\frac{1}{2}

, donc

\frac{1}{2} \cdot x

est une primitive de

\frac{1}{2}

\int \frac{1}{2} d x

\frac{1}{2} \cdot x

■La dérivée de

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

est

\frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2}

, donc

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

est une primitive de

\frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2}

\int \frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

\frac{1}{2} \cdot x + \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{2}

\frac{x}{2}

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

\frac{3 \cdot \sin (\frac{2 x}{3})}{4}

\frac{x}{2} + \frac{3 \cdot \sin (\frac{2 x}{3})}{4}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{x}{2} + \frac{3 \cdot \sin (\frac{2 x}{3})}{4} + C