integrale de e^(-x)/(9e^(-2x)+1)^(3/2)

Avant de faire l'intégration, calculons :

\frac{e^{- x}}{{(9 e^{(-2 x)} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

\frac{\frac{1}{e^{x}}}{{(9 e^{(- 2 x)} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

\frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{1}{{(\frac{9}{e^{(2 x)}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

\frac{1}{e^{x} \cdot {(\frac{9}{e^{(2 x)}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

Calculons l'intégrale :

\int(\frac{1}{e^{x} \cdot {(\frac{9}{e^{(2 x)}} + 1)}^{\frac{3}{2}}})dx

On cherche une primitive de la forme

\frac{\frac{1}{e^{x}}}{\sqrt{\frac{9}{e^{(2 x)}} + 1}}

. La règle du quotient et la dérivée de la racine donnent

{(\frac{\frac{1}{e^{x}}}{\sqrt{\frac{9}{e^{(2 x)}} + 1}})}^{'} = - \frac{e^{x}}{\sqrt{\frac{9}{e^{(2 x)}} + 1} \cdot (9 + e^{(2 x)})}

L'intégrande est

-1

fois cette dérivée : on multiplie donc la primitive par

-1

Ce calcul est valable sur chaque intervalle réel où

\frac{9}{e^{(2 x)}} + 1 > 0

- \frac{1}{e^{x} \cdot \sqrt{\frac{9}{e^{(2 x)}} + 1}}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

- \frac{1}{e^{x} \cdot \sqrt{\frac{9}{e^{(2 x)}} + 1}} + C