integrale de ln(10x) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int \ln (10 x) d x

⇥Pour

\ln (10 x)

, on utilise l'intégration par parties :

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

avec u1 =

\ln (10 x)

et v2' =

1

⇥1.1) Effectuons la dérivation u1 :

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

⇥On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

10 x

⇥ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x) \cdot 1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (10 x)

10

⇥

\frac{10}{10 x}

⇥ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{10}{10 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Donc

u1'

vaut

\frac{1}{x}

⇥1.2) Intégrons v2' :

\int 1 d x

⇥ⓘ La dérivée de

x

est

1

, donc

x

est une primitive de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Évaluons

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot x

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{x} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{x}

\frac{x}{x}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x

\frac{x}{x}

1

⇥

1

⇥1.4) Calculons

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (10 x) \cdot x - \int 1 d x

⇥ⓘ La dérivée de

- x

est

-1

, donc

- x

est une primitive de

-1

- \int 1 d x

- x

⇥

\ln (10 x) \cdot x - x

Puis on reprend le calcul d'intégrale :

ⅰ

\int \ln (10 x) d x

\ln (10 x) \cdot x - x

\ln (10 x) \cdot x - x

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

x \cdot \ln (10 x) - x + C