integrale de -16cos(4t+pi) — solution étape par étape

1) Avant d'intégrer, calculons :

-16 \cdot \cos (4 t + π)

ⓘ Un décalage de π change le signe de cos et sin :

\cos (4 t + π)

- \cos (4 t)

-16 \cdot (- \cos (4 t))

ⓘ Deux signes moins s'annulent :

-16 \cdot (- \cos (4 t))

16 \cdot \cos (4 t)

16 \cdot \cos (4 t)

2) Intégrons :

\int 16 \cdot \cos (4 t) d t

Pour l'expression mathématique :

16 \cdot \cos (4 t)

, sachant que (sin(a))' = a'*cos(a), on tente de dériver

\sin (4 t)

3) Dérivons :

\frac{d}{d t} (\sin (4 t))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d t} (\sin (f)) = \frac{d}{d t} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

4 t

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d t} (\sin (4 t))

\frac{d}{d t} (4 t) \cdot \cos (4 t)

\frac{d}{d t} (4 t) \cdot \cos (4 t)

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d t} (4 t)

4

4 \cdot \cos (4 t)

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

4 \cdot \sin (4 t)

est

16 \cdot \cos (4 t)

, donc

4 \cdot \sin (4 t)

est une primitive de

16 \cdot \cos (4 t)

\int 16 \cdot \cos (4 t) d t

4 \cdot \sin (4 t)

4 \cdot \sin (4 t)

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

4 \cdot \sin (4 t) + C