integrale de -sin(x)sec(x)tan(x)

La sécante est lue

\sec (u) = \frac{1}{\cos (u)}

, sur chaque intervalle où

\cos (u) \neq 0

⚠ -sin(x)(1/cos(x))tan(x) est lu comme -sin(x)*(1/cos(x))*tan(x) : utilisez (...)*(...) pour une multiplication, utilisez (...)^(...) pour une puissance

Avant d'intégrer, calculons :

- \sin (x) \cdot \frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)

ℹ

- \sin (x) \cdot \frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)

\frac{- \sin (x) \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

‖

\frac{- \sin (x) \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

- \tan (x) \cdot \tan (x)

- \tan (x) \cdot \tan (x)

- {\tan (x)}^{2}

Calculons l'intégrale :

\int(- {\tan (x)}^{2})dx

On abaisse le carré avec l'identité

{\tan (x)}^{2} = \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1

- \int(\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1)dx

Pour l'expression mathématique :

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

, connaissant la formule de dérivation suivante :

\frac{d}{d x} (\tan (a)) = \frac{1}{{\cos (a)}^{2}}

, on peut essayer de dériver avec la fonction tan

Dérivons :

\frac{d}{d x} (\tan (x))

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

- (\tan (x) + \int(-1)dx)

- \tan (x) - \int(-1)dx

- \tan (x) - (-1 \cdot x)

- \tan (x) + x

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

x - \tan (x) + C