integrale de (2x-4)/((x^2-4x+20)^2)

1) Calculons l'intégrale :

\int \frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

, sachant que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), on tente de dériver

{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- 2 + 1}

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{- 2 + 1})

ⓘ L'exposant se calcule avant la puissance :

- 2 + 1

-1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{-1})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x^{2} - 4 x + 20

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + 0}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

- \frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- \frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

\frac{- 2 x + 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

\frac{- 2 x + 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

- \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}

est

\frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

, donc

- \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}

est une primitive de

\frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

\int \frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} d x

- \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}

- \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

- \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} + C