integrale de (2x^2+3)/x^3 — solution étape par étape

Calculons l'intégrale :

\int \frac{2 x^{2} + 3}{x^{3}} d x

Pour

x

≠ 0, on divise chaque terme du numérateur par la puissance du dénominateur :

\frac{2 x^{2} + 3}{x^{3}} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{3}}

ⅰ

\int \frac{2 x^{2} + 3}{x^{3}} d x

\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x

\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x

\int \frac{2}{x} d x = 2 \cdot \int \frac{1}{x} d x

On utilise

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

x \neq 0

ⓘ La dérivée de

2 \cdot \ln | x |

est

\frac{2}{x}

, donc

2 \cdot \ln | x |

est une primitive de

\frac{2}{x}

\int \frac{2}{x} d x

2 \cdot \ln | x |

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int \frac{3}{x^{3}} d x

\int 3 x^{-3} d x

- \frac{3 x^{-2}}{2}

- \frac{3}{2 x^{2}}

2 \cdot \ln | x | - \frac{3}{2 x^{2}}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

- \frac{3}{2 x^{2}} + 2 \cdot \ln | x | + C