integrale de (3x)/(1+x^2) — solution étape par étape

Calculons l'intégrale :

\int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{3 x}{1 + x^{2}}

, sachant que (ln(a))' = a'/a, on tente de dériver

\ln (1 + x^{2})

Dérivons :

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x^{2}))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

1 + x^{2}

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x^{2}))

\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot 1}{1 + x^{2}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 + x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (x^{2})}{1 + x^{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{2 x}{1 + x^{2}}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

est

\frac{3 x}{1 + x^{2}}

, donc

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

est une primitive de

\frac{3 x}{1 + x^{2}}

\int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

\frac{3 \cdot \ln (1 + x^{2})}{2}

\frac{3 \cdot \ln (1 + x^{2})}{2}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{3 \cdot \ln (x^{2} + 1)}{2} + C