integrale de (3x^2+1)/(2x) — solution étape par étape

Intégrons :

\int \frac{3 x^{2} + 1}{2 x} d x

Pour

x

≠ 0, on divise chaque terme du numérateur par la puissance du dénominateur :

\frac{3 x^{2} + 1}{2 x} = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2 x}

ⅰ

\int \frac{3 x^{2} + 1}{2 x} d x

\int \frac{3 x}{2} d x + \int \frac{1}{2 x} d x

\int \frac{3 x}{2} d x + \int \frac{1}{2 x} d x

\int \frac{1}{2 x} d x = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{x} d x

On utilise

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

x \neq 0

ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int \frac{3 x}{2} d x

\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

■La dérivée de

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

est

\frac{1}{2 x}

, donc

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

est une primitive de

\frac{1}{2 x}

\int \frac{1}{2 x} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{3 x^{2}}{2 \cdot 2}

\frac{3 x^{2}}{4}

■Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

\frac{1 \cdot \ln | x |}{2}

\frac{\ln | x |}{2}

\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{\ln | x |}{2}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{\ln | x |}{2} + C