integrale de (3x^4-x^3+6x^2)/(x^4)

Avant d'intégrer, calculons :

\frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}

Factorisons dans

ℝ

3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}

On peut factoriser l'expression en :

x^{2} \cdot (3 x^{2} - x + 6)

On simplifie la fraction :

\frac{x^{2}}{x^{4}}

par le facteur commun :

x^{2}

pour obtenir la nouvelle fraction :

\frac{1}{x^{2}}

\frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}}

Calculons l'intégrale :

\int \frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} d x

Pour

x

≠ 0, on divise chaque terme du numérateur par la puissance du dénominateur :

\frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} = 3 - \frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}}

ⅰ

\int \frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} d x

\int 3 d x - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{6}{x^{2}} d x

\int 3 d x - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{6}{x^{2}} d x

ⓘ La dérivée de

3 x

est

3

, donc

3 x

est une primitive de

3

\int 3 d x

3 x

■La dérivée de

- \ln | x |

est

- \frac{1}{x}

, donc

- \ln | x |

est une primitive de

- \frac{1}{x}

- \int \frac{1}{x} d x

- \ln | x |

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int \frac{6}{x^{2}} d x

\int 6 x^{-2} d x

- 6 x^{-1}

- \frac{6}{x}

3 x - \ln | x | - \frac{6}{x}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

3 x

- \frac{6}{x}

- \ln | x |

+ C