integrale de (5x)/(cos^2(x^2)) — solution étape par étape

Calculons l'intégrale :

\int \frac{5 x}{{\cos (x^{2})}^{2}} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{5 x}{{\cos (x^{2})}^{2}}

, sachant que (tan(a))' = a'/cos(a)^2, on tente de dériver

\tan (x^{2})

Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\tan (x^{2}))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\tan (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{{\cos (f)}^{2}}

avec f =

x^{2}

ⓘ La dérivée de tan(x) est 1/cos(x)^2 :

\frac{d}{d x} (\tan (x^{2}))

\frac{d}{d x} (x^{2}) \cdot \frac{1}{{\cos (x^{2})}^{2}}

\frac{d}{d x} (x^{2}) \cdot \frac{1}{{\cos (x^{2})}^{2}}

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{2 x}{{\cos (x^{2})}^{2}}

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{5}{2} \cdot \tan (x^{2})

est

\frac{5 x}{{\cos (x^{2})}^{2}}

, donc

\frac{5}{2} \cdot \tan (x^{2})

est une primitive de

\frac{5 x}{{\cos (x^{2})}^{2}}

\int \frac{5 x}{{\cos (x^{2})}^{2}} d x

\frac{5}{2} \cdot \tan (x^{2})

\frac{5}{2} \cdot \tan (x^{2})

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{5}{2} \cdot \tan (x^{2})

\frac{5 \cdot \tan (x^{2})}{2}

\frac{5 \cdot \tan (x^{2})}{2}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{5 \cdot \tan (x^{2})}{2} + C