integrale de (7x^2+9x+7)/((x^2+1)^2)

1) Calculons l'intégrale :

\int \frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

ⓘ Un carré n'étant jamais négatif,

x^{2} + 1

ne s'annule pas et ne se factorise pas dans ℝ

2) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

\frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A + B x}{x^{2} + 1} + \frac{C + D x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Pour trouver les inconnues restantes, on multiplie des deux côtés par le dénominateur :

{(x^{2} + 1)}^{2}

, ce qui donne :

7 x^{2} + 9 x + 7 = (A + B x) \cdot (x^{2} + 1) + (C + D x)

7 x^{2} + 9 x + 7 = (A + B x) \cdot (x^{2} + 1) + C + D x

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(A + B x) \cdot (x^{2} + 1)

A x^{2}

+ A \cdot 1

+ B x x^{2}

+ B x \cdot 1

7 x^{2} + 9 x + 7 = A x^{2}

+ A \cdot 1

+ B x x^{2}

+ B x \cdot 1

+ C

+ D x

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x x^{2}

x^{3}

7 x^{2} + 9 x + 7 = A x^{2}

+ A

+ B x^{3}

+ B x

+ C

+ D x

3) En identifiant les différents termes, on obtient le système d'équations :

[1] :

0 = B

[2] :

7 = A

[3] :

9 = B + D

[4] :

7 = A + C

Solution obtenue [1] :

B = 0

4) Résolvons en A :

7 = A

[2]

Solution obtenue [2] :

A = 7

5) Cherchons D dans :

9 = B + D

[3] où

B = 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + D

D

Solution obtenue [3] :

D = 9

6) Résolvons en C :

7 = A + C

[4] en utilisant

A = 7

7 + C = 7

ⓘ On soustrait

7

aux deux membres

C = 7 - 7

ⓘ On part de

7

et on recule de

7

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

7 - 7

0

Solution trouvée [4] :

C = 0

7) Pour finir, on remplace les inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

\frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{7}{x^{2} + 1} + \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

8) Intégrons :

\int (\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 1}) d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{7}{x^{2} + 1}

, sachant que (arctan(a))' = a'/(a^2 + 1), on tente de dériver

\arctan (x)

9) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\arctan (x))

ⓘ La dérivée de arctan(x) est 1/(1 + x^2) :

\frac{d}{d x} (\arctan (x))

\frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{1}{x^{2} + 1}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⅰ

\int (\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 1}) d x

7 \cdot \arctan (x) + \int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

7 \cdot \arctan (x) + \int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

, sachant que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), on tente de dériver

{(x^{2} + 1)}^{- 2 + 1}

10) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 2 + 1})

ⓘ L'exposant se calcule avant la puissance :

- 2 + 1

-1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{-1})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x^{2} + 1

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

est

\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

, donc

- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

est une primitive de

\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

\int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{9 \cdot 1}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

\frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

ⅰ

\int \frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)} + C