integrale de (ln(y^2))/(3y) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int \frac{\ln (y^{2})}{3 y} d y

Pour l'expression mathématique :

\frac{\ln (y^{2})}{3 y}

, sachant que (a^2)' = 2*a'*a, on tente de dériver

{\ln (y^{2})}^{2}

2) Dérivons :

\frac{d}{d y} ({\ln (y^{2})}^{2})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d y} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d y} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

\ln (y^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d y} ({\ln (y^{2})}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d y} (\ln (y^{2})) \cdot \ln (y^{2})

2 \cdot \frac{d}{d y} (\ln (y^{2})) \cdot \ln (y^{2})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d y} (\ln (f)) = \frac{d}{d y} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

y^{2}

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d y} (\ln (y^{2}))

\frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \frac{1}{y^{2}}

2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \frac{1}{y^{2}} \cdot \ln (y^{2})

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \frac{1}{y^{2}} \cdot \ln (y^{2})

\frac{2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot 1 \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d y} (y^{2})

2 y

\frac{2 \cdot 2 y \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

ⅰ

2 \cdot 2

4

\frac{4 y \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

On simplifie la fraction :

\frac{y}{y^{2}}

par le facteur commun :

y

pour obtenir la nouvelle fraction :

\frac{1}{y}

\frac{4 \cdot \ln (y^{2})}{y}

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

est

\frac{\ln (y^{2})}{3 y}

, donc

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

est une primitive de

\frac{\ln (y^{2})}{3 y}

\int \frac{\ln (y^{2})}{3 y} d y

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

\frac{1 \cdot {\ln (y^{2})}^{2}}{12}

\frac{{\ln (y^{2})}^{2}}{12}

\frac{{\ln (y^{2})}^{2}}{12}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{{\ln (y^{2})}^{2}}{12} + C