integrale de (sin(x))/((cos(x))^3)

1) Avant de faire l'intégration, calculons :

\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{3}}

ⓘ sin(x)/cos(x) = tan(x) :

\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{3}}

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

2) Intégrons :

\int \frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

, sachant que (a^2)' = 2*a'*a, on tente de dériver

{\tan (x)}^{2}

3) Dérivons :

\frac{d}{d x} ({\tan (x)}^{2})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

\tan (x)

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({\tan (x)}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (\tan (x)) \cdot \tan (x)

2 \cdot \frac{d}{d x} (\tan (x)) \cdot \tan (x)

ⓘ La dérivée de tan(x) est 1/cos(x)^2 :

\frac{d}{d x} (\tan (x))

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

2 \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \tan (x)

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \tan (x)

\frac{2 \cdot 1 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{2 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{2 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

est

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

, donc

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

est une primitive de

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\int \frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}} d x

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

\frac{1 \cdot {\tan (x)}^{2}}{2}

\frac{{\tan (x)}^{2}}{2}

\frac{{\tan (x)}^{2}}{2}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{{\tan (x)}^{2}}{2} + C