integrale de (x-2)/(x^3) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int(\frac{x - 2}{x^{3}})dx

On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

\frac{x - 2}{x^{3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}

Pour trouver les inconnues restantes, on multiplie des deux côtés par le dénominateur :

x^{3}

, ce qui donne :

x - 2 = A x^{2} + B x + C

2) En identifiant les différents termes, nous obtenons le système d'équations :

[1] :

0 = A

[2] :

1 = B

[3] :

-2 = C

Solution trouvée [1] :

A = 0

3) Résolvons en B :

1 = B

[2]

Solution trouvée [2] :

B = 1

4) Cherchons C dans :

-2 = C

[3]

Solution trouvée [3] :

C = -2

5) Pour finir, on remplace les inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

\frac{0}{x} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}

0 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}

\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}

6) Calculons l'intégrale :

\int(\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}})dx

\int(\frac{1}{x^{2}})dx - \int(\frac{2}{x^{3}})dx

Pour l'expression mathématique :

\frac{1}{x^{2}}

, connaissant la formule de dérivation suivante :

\frac{d}{d x} (a^{n}) = n a^{(n - 1)}

, on peut essayer de dériver avec la fonction ^(m+1)

7) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{(- 2 + 1)})

\frac{d}{d x} (x^{-1})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{(n - 1)}

avec f =

x

-1 \cdot x^{-2}

- x^{-2}

\frac{1}{- x^{2}}

- \frac{1}{x^{2}}

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

Pour l'expression mathématique :

\frac{2}{x^{3}}

, en utilisant la formule de dérivation suivante :

\frac{d}{d x} (a^{n}) = n a^{(n - 1)}

, on peut tenter de dériver avec ^(m+1)

8) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{(- 3 + 1)})

\frac{d}{d x} (x^{-2})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{(n - 1)}

avec f =

x

-2 x^{-3}

- \frac{2}{x^{3}}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

- 1 \cdot \frac{1}{x} - (\frac{2}{-2} \cdot \frac{1}{x^{2}})

- \frac{1}{x} - (- \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}})

ℹ

- \frac{2}{2}

-1

‖

- (-1 \cdot \frac{1}{x^{2}})

- \frac{-1}{x^{2}}

- \frac{1}{x} - \frac{-1}{x^{2}}

- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + C

▶Primitive :

- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + C

, où C est une constante