integrale de (x^2-3x+1)/(-2x) — solution étape par étape

Avant de faire l'intégration, calculons :

\frac{x^{2} - 3 x + 1}{-2 x}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{x^{2} - 3 x + 1}{- 2 x}

- \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x}

- \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x}

Intégrons :

\int (- \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x}) d x

Pour

x

≠ 0, on divise chaque terme du numérateur par la puissance du dénominateur :

- \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x} = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2 x}

ⅰ

\int (- \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x}) d x

- \int \frac{x}{2} d x + \int \frac{3}{2} d x - \int \frac{1}{2 x} d x

- \int \frac{x}{2} d x + \int \frac{3}{2} d x - \int \frac{1}{2 x} d x

\int (- \frac{1}{2 x}) d x = - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{x} d x

On utilise

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

x \neq 0

ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int \frac{x}{2} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

■La dérivée de

\frac{3}{2} \cdot x

est

\frac{3}{2}

, donc

\frac{3}{2} \cdot x

est une primitive de

\frac{3}{2}

\int \frac{3}{2} d x

\frac{3}{2} \cdot x

■La dérivée de

- \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

est

- \frac{1}{2 x}

, donc

- \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

est une primitive de

- \frac{1}{2 x}

- \int \frac{1}{2 x} d x

- \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot x - \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}

\frac{x^{2}}{4}

■Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{3}{2} \cdot x

\frac{3 x}{2}

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

\frac{1 \cdot \ln | x |}{2}

\frac{\ln | x |}{2}

- \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{\ln | x |}{2}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

- \frac{x^{2}}{4}

+ \frac{3 x}{2}

- \frac{\ln | x |}{2}

+ C