integrale de (z+3)^4 — solution étape par étape

1) Intégrons :

\int {(z + 3)}^{4} d z

Pour l'expression mathématique :

{(z + 3)}^{4}

, sachant que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), on tente de dériver

{(z + 3)}^{4 + 1}

2) Dérivons :

\frac{d}{d z} ({(z + 3)}^{4 + 1})

ⓘ L'exposant se calcule avant la puissance :

4 + 1

5

\frac{d}{d z} ({(z + 3)}^{5})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d z} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d z} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

z + 3

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d z} ({(z + 3)}^{5})

5 \cdot \frac{d}{d z} (z + 3) \cdot {(z + 3)}^{4}

5 \cdot \frac{d}{d z} (z + 3) \cdot {(z + 3)}^{4}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d z} (z + 3)

1 + 0

5 \cdot (1 + 0) \cdot {(z + 3)}^{4}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

5 \cdot {(z + 3)}^{4}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

est

{(z + 3)}^{4}

, donc

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

est une primitive de

{(z + 3)}^{4}

\int {(z + 3)}^{4} d z

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

\frac{1 \cdot {(z + 3)}^{5}}{5}

\frac{{(z + 3)}^{5}}{5}

\frac{{(z + 3)}^{5}}{5}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{{(z + 3)}^{5}}{5} + C