integrale de sin^2(x)/2 — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int \frac{{\sin (x)}^{2}}{2} d x

On abaisse le carré avec l'identité

{\sin (x)}^{2} = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int \frac{{\sin (x)}^{2}}{2} d x

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{4} d x

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{4} d x

ⅰ

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{4} d x

\int \frac{1}{4} d x - \int \frac{\cos (2 x)}{4} d x

\int \frac{1}{4} d x - \int \frac{\cos (2 x)}{4} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{\cos (2 x)}{4}

, sachant que (sin(a))' = a'*cos(a), on tente de dériver

\sin (2 x)

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

2 x

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{1}{4} \cdot x

est

\frac{1}{4}

, donc

\frac{1}{4} \cdot x

est une primitive de

\frac{1}{4}

\int \frac{1}{4} d x

\frac{1}{4} \cdot x

■La dérivée de

- \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

est

- \frac{\cos (2 x)}{4}

, donc

- \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

est une primitive de

- \frac{\cos (2 x)}{4}

- \int \frac{\cos (2 x)}{4} d x

- \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

\frac{1}{4} \cdot x - \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{4} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{4}

\frac{x}{4}

\frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{8}

\frac{\sin (2 x)}{8}

\frac{x}{4} - \frac{\sin (2 x)}{8}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{x}{4} - \frac{\sin (2 x)}{8} + C