integrale de sqrt(3x-12) — solution étape par étape

1) Calculons l'intégrale :

\int \sqrt{3 x - 12} d x

Pour l'expression mathématique :

\sqrt{3 x - 12}

, sachant que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), on tente de dériver

{(3 x - 12)}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 2

3

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

3 x - 12

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 x - 12)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{3 \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + 0) \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x)

3

\frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

ⅰ

3 \cdot 3

9

\frac{9 \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

est

\sqrt{3 x - 12}

, donc

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

est une primitive de

\sqrt{3 x - 12}

\int \sqrt{3 x - 12} d x

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2 \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}}{9}

\frac{2 \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}}{9}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{2 \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}}{9} + C