integrale de v(u+v^2)^4 — solution étape par étape

L'expression :

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

contient plusieurs variables ; on choisit donc v pour l'intégration

1) Intégrons :

\int v \cdot {(u + v^{2})}^{4} d v

Pour l'expression mathématique :

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

, sachant que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), on tente de dériver

{(u + v^{2})}^{4 + 1}

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d v} ({(u + v^{2})}^{4 + 1})

ⓘ L'exposant se calcule avant la puissance :

4 + 1

5

\frac{d}{d v} ({(u + v^{2})}^{5})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d v} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d v} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

u + v^{2}

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d v} ({(u + v^{2})}^{5})

5 \cdot \frac{d}{d v} (u + v^{2}) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

5 \cdot \frac{d}{d v} (u + v^{2}) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d v} (u + v^{2})

\frac{d}{d v} (u) + \frac{d}{d v} (v^{2})

5 \cdot (\frac{d}{d v} (u) + \frac{d}{d v} (v^{2})) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⓘ La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{d}{d v} (u)

0

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d v} (v^{2})

2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v

5 \cdot (0 + 2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v

2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v

■La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d v} (v)

1

5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

5 \cdot 2 v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⅰ

5 \cdot 2

10

10 v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

est

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

, donc

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

est une primitive de

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

\int v \cdot {(u + v^{2})}^{4} d v

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

\frac{1 \cdot {(u + v^{2})}^{5}}{10}

\frac{{(u + v^{2})}^{5}}{10}

\frac{{(u + v^{2})}^{5}}{10}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{{(u + v^{2})}^{5}}{10} + C